Estrategias Didácticas para Enseñar Matemáticas en Educación Media

Estrategia didáctica para estimular el aprendizaje de Matemática en la secundaria básica

Para comprender la esencia del proceso de enseñanza – aprendizaje en la escuela secundaria básica, en particular en la enseñanza de la Matemática es necesario analizar algunos conceptos y algunas de las exigencias de la enseñanza de la ciencia y en particular de la enseñanza de la Matemática en el ámbito internacional.

Fundamentos psicopedagógicos de la estrategia didáctica

• El aprendizaje desarrollador. Esencia y dimensiones

Al caracterizar la esencia del aprendizaje desarrollador, D. Castellanos Simón y otros, 2001, expresan: «Un aprendizaje desarrollador es aquel que garantiza en el individuo la apropiación activa y creadora de la cultura, propiciando el desarrollo de su auto-perfeccionamiento constante, de su autonomía y autodeterminación, en íntima conexión con los necesarios procesos de socialización, compromiso y responsabilidad social»

Por tanto, para ser desarrollador, el aprendizaje tendría que cumplir con tres criterios básicos:

• 1. Promover el desarrollo integral de la personalidad del educando, es decir, activar la apropiación de conocimientos, destrezas y capacidades intelectuales en estrecha armonía con la formación de sentimientos, motivaciones, cualidades, valores, convicciones e ideales. En otras palabras, tendría que garantizar la unidad y equilibrio de lo cognitivo y lo afectivo-valorativo en el desarrollo y crecimiento personal de los aprendices.
• 2. Potenciar el tránsito progresivo de la dependencia a la independencia y a la autorregulación, así como el desarrollo en el sujeto de la capacidad de conocer, controlar y transformar creadoramente su propia persona y su medio.
• 3. Desarrollar la capacidad para realizar aprendizajes a lo largo de la vida, a partir del dominio de las habilidades y estrategias para aprender a aprender, y de la necesidad de una autoeducación constante.

• La enseñanza desarrolladora. Exigencias

D. Castellanos y otros, 2001, identifican la enseñanza que propicia y estimula el aprendizaje desarrollador, como una enseñanza desarrolladora. Al referirse a la esencia de esta enseñanza expresan que esta es: «…el proceso sistémico de transmisión de la cultura en la institución escolar en función del encargo social, que se organiza a partir de los niveles de desarrollo actual y potencial de los y las estudiantes, y conduce el tránsito continuo hacia niveles superiores de desarrollo, con la finalidad de formar una personalidad integral y autodeterminada, capaz de transformarse y de transformar su realidad en un contexto histórico concreto»

Una enseñanza desarrolladora debe apoyarse en una sólida fundamentación filosófica y psicológica. La concepción del aprendizaje propuesta previamente (aprendizaje desarrollador) se sustenta en una concepción del desarrollo humano que penetra su esencia, y le confiere obviamente su impronta especial. La educación desarrolladora, concretizada en el sistema de acciones de aprendizaje y de enseñanza, reflejará igualmente esta naturaleza singular de los procesos analizados. Desde esta óptica, la intencionalidad y finalidad del proceso de enseñanza-aprendizaje trasciende entonces la tradicional concepción lineal y parcializada del mismo como mero reproductor de contenidos.

La concepción del proceso de enseñanza – aprendizaje que se está planteando supone, además, una visión integral, que reconozca no solamente sus componentes estructurales, sino también las relaciones que se establecen entre los mismos, y entre ellos y el propio proceso como un todo. Una comprensión más rica, que incluya a protagonistas, niveles y relaciones como elementos integrantes de su estructura.

Consecuentemente, el diseño del proceso abarcará dialécticamente los componentes tradicionalmente reconocidos (objetivo, contenido, método, medio, evaluación) como elementos mediatizadores de las relaciones entre los protagonistas (alumno/a, profesor/a, grupo), y también, de manera muy especial, incluirá las relaciones que se establecen entre ellos. Se destaca aquí el papel del problema como un elemento significativo que expresa, precisamente, el carácter dialéctico del mismo.

Finalmente, el reconocimiento de los niveles de organización del proceso, como manifestación de su carácter sistémico, permitirá comprender su estructura espacial y funcional. Sólo a partir de un sólido enfoque de sistema pueden integrarse los diferentes componentes de manera tal que conformen una totalidad con identidad propia, desarrolladora, y que a la vez, cada uno mantenga su identidad como parte en función de la identidad del sistema como una totalidad, o sea, en función de la contradicción o problema a resolver.

En otras palabras, los rasgos esenciales que caracterizan una enseñanza desarrolladora adquieren verdadero significado al establecerse una relación cualitativamente superior entre los componentes del proceso, y entre éstos y el propio proceso. Este planteamiento orienta hacia un análisis más profundo del papel de cada uno de ellos en su interrelación, y muy especialmente hacia los nexos entre los protagonistas y los restantes componentes. Los componentes son los que dan sentido y concreción a las relaciones que se establecen entre alumno/a, profesor/a y grupo.

 

• Exigencias para un aprendizaje desarrollador de las ciencias

Las exigencias que estimulan el desarrollo integral de la personalidad de los alumnos y las alumnas en el aprendizaje de las Ciencias se han descritos por (Silvestre 1999, Zilberstein 2000, Zilberstein, Portela y Mcpherson 2000). Entre esas exigencias se encuentran:

1. Que el aprendizaje se realice a partir de la búsqueda del conocimiento por el alumno, utilizando en la clasemétodos y procedimientos que estimulen el pensamiento teórico, llegar a la esencia y vinculen el contenido con la vida.

Se hace necesario estimular la búsqueda activa por parte de las alumnas y alumnos y motivarlos a «aprender construyendo ciencia«, a investigar, a proponer soluciones alternativas y a estar «insatisfechos» constantemente con lo que aprenden. Hoy se necesita promover la actividad, pero no por la sola actividad en sí misma. Hay que evitar el activismo de la enseñanza, la participación no reflexiva del escolar!.

Promover la actividad de búsqueda del conocimiento debe favorecer el paso de las acciones externas con los objetos, al plano mental interno, que permite al alumno poder operar con ese conocimiento, por lo que esa actividad deberá estimular el análisis y la reflexión del contenido que va surgiendo ante él, para establecer los nexos, las relaciones a partir de la esencia.

2. Se deberá concebir un sistema de actividades que ejerciten en las alumnas y alumnos los procesos de análisis, síntesis, comparación, abstracción y generalización, que posibiliten la formación de conceptos y el desarrollo de los procesos lógicos del pensamiento.

Las actividades que desarrollen los escolares deben permitir el análisis y la síntesis, de la clasificación y la comparación, de la búsqueda de lo esencial, del establecimiento de relaciones, procedimientos generales cuya adquisición irá favoreciendo el desarrollo intelectual del alumno y el autoaprendizaje (aprender a aprender).

En las Ciencias, la solución y planteamiento de problemas por parte de los alumnos, debe llevarlos a crear en ellos contradicciones entre lo que conocen y lo desconocido, despertar su interés por encontrar la solución, plantear hipótesis y llegar a realizar experimentos que permitan comprobarlas, todo lo cual los puede motivar a buscar información, profundizar en los elementos precisos para responder a sus interrogantes, y que el aprendizaje se desvíe de la «adquisición memorística» y propicie el desarrollo del pensamiento.

3. Concepción de la tarea docente en función de que permita la búsqueda y a la revelación analítica del conocimiento.

Las tareas docentes son aquellas actividades que se orientan para que el alumno las realice en clases o fuera de esta, implican la búsqueda y adquisición de conocimientos, el desarrollo de habilidades y la formación integral de su personalidad (Silvestre 2000).

La actividad planificada para dirigir la actividad cognoscitiva de los escolares se organiza en diferentes tipos de tareas, planteadas por el profesor o que surgen en la interacción alumno profesor. Tales tareas contendrán indicaciones y estas servirán de guía para la realización de la actividad (la ayuda del otro).

Las tareas deben estar dirigidas a incidir, tanto en la búsqueda de la información, al desarrollo de habilidades, a la formación de puntos de vista, juicios, a la realización de valoraciones por el alumno, todo lo cual además de que permite que se apropie de conocimientos, contribuye al desarrollo de su pensamiento y a la formación de valores.

Las tareas deben constituir un sistema y estar en correspondencia con los objetivos que se trace el docente. Deberán ser suficientes, variadas y diferenciadas.

4. Desarrollar formas de actividad y de comunicación colectivas, que favorezcan la interacción de lo individual con lo colectivo en el proceso de aprendizaje.

La interacción grupal favorece que el alumno se apropie del contenido de enseñanza siendo protagonista de su propio aprendizaje, sin desconocer que cada estudiante debe actuar con independencia y el papel determinante de la «dirección adecuada» del docente en cada tipo de actividad.

En la clase de Ciencias deberán prevalecer procesos comunicativos que respeten y potencien la individualidad de los integrantes del grupo, estimulando el planteamiento de nuevas ideas, otorgándole valor a lo que cada uno de sus miembros exprese.

El intercambio de información, las reflexiones grupales, la interacción entre sus miembros, favorece el pensamiento de cada estudiante, le permite confrontar ideas, completarlas, variarlas e incluso llegar a nuevos planteamientos. Es decir, el trabajo del grupo contribuye al desarrollo de cada uno de sus integrantes.

Las diferentes formas de organización del proceso docente deberán incluir el trabajo en el aula y fuera de esta, en grupos, por equipos (cuatro o cinco estudiantes), por parejas e individual.

5. Vincular el contenido de aprendizaje con la práctica social y estimular la valoración por el alumno en el plano educativo.

El logro de este propósito exige que el alumno logre identificar las cualidades que le confieren el valor al objeto de estudio y que realice su valoración, es decir que encuentre el valor social que posee, así como el sentido para sí.

Es indiscutible el efecto positivo que se produce en el estudiante, respecto al aprendizaje de un contenido, el hecho de que encuentre la utilidad social que tiene y la utilidad individual que puede reportarle el conocimiento con el que está interactuando.

La revelación del significado social y la búsqueda del sentido personal pueden, por una parte, favorecer el interés del alumno por el contenido de aprendizaje y, por otra, abrir la posibilidad de utilizar el contenido con fines educativos.

Por otra parte, la interacción entre los alumnos durante la actividad en la clase, propiciará diferentes momentos en que se puedan ejercer importantes influencias educativas, a partir de la valoración y autovaloración de su comportamiento y del resultado de la actividad.

• Tendencias internacionales actuales en la enseñanza de la Matemática

M. de Guzmán, 1993 identificó, como resultado de sus observaciones personales, un grupo de tendencias internacionales en la enseñanza de la Matemática, que apuntan, a juicio de los autores de este trabajo, hacia una concepción desarrolladora de la enseñanza de la Matemática. Estas tendencias son:

• La educación matemática se debe concebir como un proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente matemático, a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas características de la escuela en la que se entronca.
• Continuo apoyo en la intuición directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real. Es necesario cuidar y cultivar la intuición en general, la manipulación operativa del espacio y de los mismos símbolos. Es preciso no abandonar la comprensión e inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los objetos matemáticos. Si la matemática es una ciencia que participa mucho más de lo que hasta ahora se pensaba del carácter de empírica, sobre todo en su invención, que es mucho más interesante que su construcción formal, es necesario que la inmersión en ella se realice teniendo en cuenta mucho más intensamente la experiencia y la manipulación de los objetos de los que surge. La formalización rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio posterior. A cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa
• Hacer hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática más bien que en la mera transferencia de contenidos. La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas. En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heurísticas adecuadas para la resolución de problemas en general, por estimular la resolución autónoma de verdaderos problemas, más bien que la mera transmisión de recetas adecuadas en cada materia.

Aprovechar al máximo las nuevas tecnologías. La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y el ordenador actuales está comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar nuestra educación matemática primaria y secundaria adecuadamente, de forma que se aprovechen al máximo de tales instrumentos. Este es uno de los retos importantes del momento presente.

• La búsqueda de la motivación del alumno desde un punto de vista más amplio, que no se limite al posible interés intrínseco de la matemática y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la evolución de la cultura, la historia, el desarrollo de la sociedad, por una parte, y la matemática, por otra, se han proporcionado.
• Algunos principios metodológicos aconsejables para la enseñanza de la Matemática

El mencionado autor señala, sobre la base de las tendencias generales analizadas, algunos principios metodológicos que podrían guiar apropiadamente la enseñanza de la Matemática en la escuela. Estos principios, propuestos por M. Guzmán refuerzan la necesidad de un enfoque desarrollador del proceso de enseñanza – aprendizaje de esta asignatura. Estos son:

Hacia la adquisición de los procesos típicos del pensamiento matemático. La inculturación a través del aprendizaje activo

El proceso de aprendizaje matemático en cualquier nivel educacional debe ocurrir, según el autor, de una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creación de las ideas matemáticas, de modo parecido al que el matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematización de la parcela de la realidad de la que se ocupa.

Se trata, en primer lugar, de poner al alumno en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que deben explorar los alumnos. Para ello es importante que el profesor conozca a fondo el contexto histórico que enmarca estos conceptos adecuadamente.

Normalmente la historia proporciona una magnífica guía para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de la materia, da luces para entender la razón que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés.

En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a través del intento directo de una modelización de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras matemáticas en cuestión. Se pueden acudir para ello a las otras ciencias que hacen uso de las matemáticas, a circunstancias de la realidad cotidiana o bien a la presentación de juegos tratables matemáticamente, de los que en más de una ocasión a lo largo de la historia han surgido ideas matemáticas de gran profundidad.

Puestos los estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de las ideas que son objeto de estudio, el profesor debe tratar de estimular su búsqueda independiente, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemáticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural.

Está claro que el profesor no debe esperar que los alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elaboró tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que la búsqueda con guía, sin aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como la detección de técnicas concretas, de estrategias útiles de pensamiento en el campo en cuestión y de su transmisión a los estudiantes.

El contenido de la enseñanza, así concebido, resulta lleno de sentido, plenamente motivado y mucho más fácilmente asimilable. Su aplicación a la resolución de los problemas, que en un principio aparecían como objetivos inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfacción y placer intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemático eficaz y de una fuerte atracción hacia la matemática.

La utilización de la historia en la enseñanza de la Matemática

El valor del conocimiento histórico no consiste en tener una batería de historietas y anécdotas curiosas para entretener a los alumnos a fin de hacer un alto en el camino.

La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difícil del modo más adecuado. Los diferentes métodos del pensamiento matemático, tales como la inducción, el pensamiento algebraico, la geometría. han surgido en circunstancias históricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy útil resaltar.

La historia debería ser un potente auxiliar para objetivos tales como:

– hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas

– enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes,…

3. La utilización de la heurística en la enseñanza de la matemática

La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturación mencionado en el punto cuando se hizo el análisis de las tendencias. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.

Se trata de considerar como lo más importante:

– que el alumno manipule los objetos matemáticos

– que active su propia capacidad mental

– que ejercite su creatividad

– que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente

– que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental

– que adquiera confianza en sí mismo

– que se divierta con su propia actividad mental

– que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana

– que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.

La forma de presentación de un tema matemático basada en el espíritu de la resolución de problemas debería proceder más o menos del siguiente modo:

propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos…) — manipulación independiente por los estudiantes — familiarización con la situación y sus dificultades — elaboración de estrategias posibles — ensayos diversos por los estudiantes — herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados) — elección de estrategias — ataque y resolución de los problemas — recorrido crítico (reflexión sobre el proceso) — afianzamiento formalizado (si conviene) — generalización — nuevos problemas — posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas,…

En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con tino por el profesor, colocando al alumno en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido….

4. Sobre la preparación necesaria para la enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas.

La preparación para este tipo de enseñanza requiere una inmersión personal, seria y profunda. No se trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino de adquirir unas nuevas actitudes que calen y se vivan profundamente.

A mi parecer esta tarea se realiza más efectivamente mediante la formación de pequeños grupos de trabajo. El trabajo en grupo en este tema tiene una serie de ventajas importantes:

– proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, al permitirnos percibir las distintas formas de afrontar una misma situación-problema

– se puede aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces en el papel de moderador del grupo, otras en el de observador de su dinámica

– el grupo proporciona apoyo y estímulo en una labor que de otra manera puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere

– el trabajo con otros nos da la posibilidad de contrastar los progresos que el método es capaz de producir en uno mismo y en otros

-el trabajo en grupo proporciona la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a nuestros estudiantes en una labor semejante con mayor conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y personas.

Algunos de los aspectos que es preciso atender en la práctica inicial adecuada son los siguientes:

– exploración de los diferentes bloqueos que actúan en cada uno de nosotros, a fin de conseguir una actitud sana y agradable frente a la tarea de resolución de problemas

– práctica de los diferentes métodos y técnicas concretas de desbloqueo

– exploración de las aptitudes y defectos propios más característicos, con la elaboración de una especie de autorretrato heurístico

– ejercicio de diferentes métodos y alternativas

– práctica sostenida de resolución de problemas con la elaboración de sus protocolos y su análisis en profundidad

5. La necesidad de una adecuada motivación y presentación

Los alumnos se encuentran intensamente bombardeados por técnicas de comunicación muy poderosa y atrayente. Es una fuerte competencia con la que se enfrenta el profesor en la enseñanza cuando trata de captar una parte substancial de su atención. Es necesario que el profesor lo tenga en cuenta constantemente y que el sistema educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como el vídeo, la televisión, la radio, el periódico.

6. Fomentar el gusto por la Matemática

La actividad física es un placer para una persona sana. La actividad intelectual también lo es. La matemática orientada como saber hacer independiente, bajo una guía adecuada, es un ejercicio atrayente. De hecho, una gran parte de los niños más jóvenes pueden ser introducidos de forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio razonable de un conocimiento matemático. Lo que suele suceder es que los profesores no a sabido mantener este interés y ahoga en abstracciones inmotivadas y a destiempo el desarrollo matemático del niño. El gusto por el descubrimiento en matemáticas es posible y fuertemente motivador para superar otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto hay que pasar. La apreciación de las posibles aplicaciones del pensamiento matemático en las ciencias y en las tecnologías actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas más orientadas hacia la práctica. Otros se sentirán más movidos ante la contemplación de los impactos que la matemática ha ejercido sobre la historia y filosofía del hombre, o ante la biografía de tal o cual matemático famoso.

Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en las personas, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy difícil.

Los aspectos abordados hasta aquí, a juicio de la autora de este trabajo, deben tomarse en consideración al diseñar e implementar cualquier estrategia didáctica para la enseñanza de la Matemática en el contexto actual de las transformaciones que se ejecutan en la Educación Secundaria Básica cubana.

Diseño de la estrategia didáctica para estimular y propiciar el aprendizaje desarrollador en la enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria

La estrategia elaborada tiene como objetivo general diseñar un conjunto de acciones para ejecutar el proceso de enseñanza – aprendizaje, durante el desarrollo de la clase, de manera que promueva y estimule el aprendizaje desarrollador

Descripción de la estrategia didáctica

La estrategia didáctica que se propone incluye un conjunto de acciones a ejecutar por el profesor durante le ejecución y evaluación del proceso de enseñanza – aprendizaje en una video clase, una clase de software y una clase de repaso.

Primera etapa: Ejecución del proceso de enseñanza – aprendizaje

Esta etapa tiene dos fases, que son:

• I. Fase de preparación del alumno para la clase
• II. Fase de desarrollo de la clase

Primera fase: Preparación del alumno para la clase de repaso, video clase o clase de software

Un aspecto importante en el desarrollo de una clase, video clase o clase de software, lo constituye la fase introductoria o preparatoria, cuya función fundamental es la preparación didáctica, entendida como la reactivación de los conocimientos y capacidades que son necesarios para comprender lo nuevo.

En esta fase preparatoria se destacan tres tareas fundamentales:

• 1. El repaso y la comprobación de los conocimientos, habilidades y capacidades ya asimilados por el alumno.
• 2. Reproducir o preparar los conceptos e ideas necesarias para elaborar un nuevo contenido.
• 3. Despertar el interés y la atención de los alumnos por el estudio del nuevo contenido (Motivación)
• 4. Planteamiento del objetivo

Para lograr el efecto deseado de esta fase, el profesor debe estar claro que estas tareas no se realizan por separado, el éxito de esta fase radica cuando éste es capaz de relacionar las cuatro tareas mediante el planteamiento de preguntas, o dirigiendo la conversación de repaso de tal forma que éste se convierta simultáneamente en una introducción de lo nuevo. La tercera tarea constituye un elemento de particular importancia que determina en gran medida el éxito de la clase.

Recordemos que por interés se entiende una actitud específica, cognoscitiva ante los objetos y fenómenos de la realidad, una relación con el objeto que crea en el alumno la tendencia de dirigir la atención preferentemente hacia él y por atención se entiende la orientación y concentración de la conciencia en un determinado fenómeno, problema, etc.

En relación con la tercera tarea, es importante destacar que de la forma en que se obtenga el objetivo depende que el proceso de orientación se ponga en marcha realmente. El objetivo puede ser «comunicado», «dado a conocer» o «indicado»; totalmente preparado por el maestro o también desarrollado o elaborado.

Resulta obvio que la elaboración o desarrollo de un objetivo es didácticamente más valioso que una simple indicación del mismo, que es lo que generalmente se observa en la práctica diaria de un gran número de docentes. La aparente ventaja en la simple comunicación del objetivo, suponiendo que sea un ahorro de tiempo, en la mayoría de los casos no es suficiente, porque la deficiente orientación de los alumnos hacia un objetivo actúa negativamente sobre el desarrollo y resultados del aprendizaje.

Lo más recomendable, para garantizar una correcta orientación del objetivo, es desarrollarlo o elaborarlo (mediante un problema o situación problemática, el desarrollo de una idea conductora, una hipótesis, etc.)

A continuación se muestra, mediante ejemplos de Matemática, cómo se realiza esta fase introductoria o preparatoria

En la clase: Introducción al concepto ecuación cuadrática. Método de resolución por descomposición en factores. El profesor puede orientarle a los a los alumnos la siguiente situación problemática:

1. La longitud de los lados de un triángulo ABC, rectángulo en C, están dadas por las expresiones: AB = 2x + 3; BC = x y AC= 3x – 3. Calcula el perímetro del triángulo.

En lugar de dar o plantear una situación problemática se ofrecen varias, de modo que el alumno pueda escoger la que desee. Para que el alumno solucione este ejercicio el profesor puede formular las preguntas siguientes:

¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo?

¿Qué relación existe entre los tres lados de un triángulo rectángulo?

Una vez recordado estos contenidos el alumno los aplica consecuentemente y llega a obtener una ecuación de la forma que evidentemente no puede resolver.

¿Es resolvible esa ecuación? ¿Qué necesitamos?

Actividades como estas permiten relacionar las tareas de la fase introductoria o preparatoria de la clase, para llegar a definir el problema objeto de estudio.

Problema: definir este tipo de ecuaciones y buscar un procedimiento que permita resolverlas

Acciones a ejecutar en esta fase

• 1. Diseñar las situaciones problemáticas que se presentarán a los alumnos. En esta acción es muy importante que el profesor tenga en cuenta los resultados del diagnóstico de cada uno de los alumnos del aula, no solo en lo que respecta a su nivel de preparación y desarrollo, sino también, a sus gustos, intereses y preferencias.
• 2. Orientar la tarea (situación problemática)
• 3. Organizar la participación de los alumnos para la ejecución de la tarea. Estas pueden realizarse individualmente o de forma colectiva (por parejas, en pequeños grupos).
• 4. Estimular a los alumnos mediante impulsos para que logren identificar el problema que debe resolverse en la clase, video clase o clase de software o comprender la necesidad de ocuparse del estudio del problema.
• 5. Presentar la Guía de Observación de la video clase, precisando aquellos aspectos del contenido a los que los alumnos deben prestar atención, es decir, conocimientos, procedimientos, etc. (válida solamente para  video clases).
• 6. Orientar a los alumnos que anoten cuidadosamente todas las dudas o inquietudes en relación con los contenidos o ejercicios que se abordan en la video clase

Segunda Fase: Desarrollo de la:

• Video clase
• Clases de software
• Clases de repaso

Acciones a ejecutar en esta fase:

A) En las videoclases de contenido:

1. Organizar los alumnos en torno al televisor para la observación de  video clase.

2. Utilizar los recursos necesarios para concentrar la atención de los alumnos, evitando que estos se distraigan y pierdan el hilo conductor de las explicaciones y ejemplificaciones que realice el tele – profesor.

3. Realizar el debate dirigido una vez concluida la observación de  video clase. Para ello puede utilizar preguntas que obliguen al alumno a reflexionar sobre lo observado y tareas que exijan de un razonamiento previo, tanto desde el punto de vista matemático como lógico.

4. Ofrecer los niveles de ayuda necesarios a cada alumno en correspondencia con su nivel de preparación y desarrollo.

5. Orientar las actividades del software educativo para el estudio independiente en correspondencia con las necesidades de cada alumno. Estas pueden ser de carácter teórico o práctico.

6. Orientar tareas que impliquen una búsqueda o una pequeña investigación por parte de los alumnos y que estén relacionadas con el origen o desarrollo de los contenidos que se abordan en la video clase. Estas tareas pueden ser: origen de las ecuaciones cuadráticas, Método empleado por All Khuwarizmi para resolver las ecuaciones cuadráticas. Datos biográficos de Diofanto, etc.

B) En las video clase de resolución de ejercicios y problemas

Además de ejecutar las acciones 1) y 2) indicadas para  video clase de contenidos, se ponen en práctica las siguientes:

3. Realizar reactivaciones explícitas del contenido asimilado y que pueden ser útiles para la realización de los ejercicios.

4. Ofrecer niveles de ayuda (impulsos) a los alumnos que presenten dificultades con la realización de los ejercicios.

5. Proponer ejercicios auxiliares que sirvan de apoyo para comprender y realizar los ejercicios indicados por el tele – profesor.

6. Enseñar a los alumnos estrategias de aprendizaje para el autocontrol del ejercicio y no esperar necesariamente a la solución que se explica por el tele – profesor.

7. Analizar otras variantes de solución de los ejercicios y problemas.

8. Proponer otros ejercicios que integren y sistematicen los conocimientos y procedimientos empleados en la realización de los ejercicios propuestos en la video clase. Pueden ser tomados del L/T, de la Matemática Recreativa, etc.

C) En las clases de software

1. Utilizar el módulo de contenido para reactivar los conocimientos, métodos y procedimientos que se requieren para realizar las softareas que se han planificado.

2. Orientar los ejercicios en correspondencia con el nivel de preparación y desarrollo de cada alumno.

3. Supervisar la realización del ejercicio. Para ello se pueden utilizar varios procedimientos: 1) pedir a los alumnos que se equivoquen que desarrollen el ejercicio en sus cuadernos, 2) pedir a los alumnos que hayan acertado en la respuesta que lo desarrollen en sus cuadernos para comprobar la solución, 3) pedir a los alumnos que comenten la vía de solución como una manera de explicitar sus razonamientos, 4) remitir a los alumnos que presenten dificultades al módulo de contenido.

D) En las clases de repaso

1) Sistematizar y generalizar conocimientos y procedimientos previamente asimilados por los alumnos y que sean útiles para resolver los ejercicios y problemas que se orientarán durante la clase.

2) Proponer ejercicios y problemas:

a) que permitan valorar el nivel de desempeño cognitivo de los alumnos.

b) que son diferentes entre sí para evitar la transferencia rutinaria y esquemática de conocimientos, métodos y procedimientos de solución.

c) que exijan de la integración de conocimientos.

d) de final abierto

3) Ofrecer niveles de ayuda a los alumnos que lo requieran.

4) Utilizar la solución de ejercicios y problemas en grupo para propiciar el intercambio de ideas y opiniones en cuanto a las vías de solución.

5) Entrenar a los alumnos en la utilización de los procedimientos y estrategias heurísticas.

6) Analizar y generalizar las estrategias de aprendizaje empleadas por aquellos alumnos que demuestren tener éxito en la solución de los ejercicios y problemas.

7) Utilizar distintas formas de repaso: encuentros de conocimientos, juegos didácticos, etc.

Segunda etapa: Evaluación del aprendizaje

El desarrollo del PEA, requiere como toda actividad, el control de sus progresos y resultados para comprobar la correspondencia de los mismos con los objetivos planteados. La evaluación, como función de la dirección, constituye por tanto un elemento importante en la enseñanza desarrolladora.

En una enseñanza desarrolladora, la evaluación debe contribuir a un diagnóstico dinámico, continuo e integral del estudiantado. Por lo tanto, las actividades evaluativas y los instrumentos de evaluación deben propiciar el diagnóstico de la actividad intelectual productivo-creadora (de su componente procesal y operacional) y del desarrollo alcanzado en las habilidades de reflexión y regulación metacognitiva. Deben ir dirigidas igualmente a determinar en qué medida el aprendizaje realizado por los/las estudiantes es significativo y cómo logra implicarse en la formación de motivaciones, sentimientos, actitudes y valores. Debe poner el énfasis en establecer la calidad de los nuevos aprendizajes, es decir, su solidez y duración, sus posibilidades de ser recuperado, generalizado y transferido a nuevas situaciones, es decir, su funcionalidad. Y finalmente, debe ofrecer indicaciones a los/las docentes para determinar en qué medida estos aprendizajes están promoviendo el crecimiento personal de los/las aprendices, de su capacidad de aprender a aprender, y de su disposición para hacerlo permanentemente.

Acciones a ejecutar durante esta etapa

1. Determinar el contenido objeto de evaluación ¿Qué se evalúa?

El/la docente evaluará todos los elementos integrantes del proceso desarrollado. El contenido de la evaluación está condicionado por la concepción desarrolladora de proceso de enseñanza aprendizaje asumida. Así evaluará fundamentalmente:

• El nivel de desarrollo alcanzado por el estudiante en la apropiación del contenido. ¿De cuál contenido? De aquellos elementos que, de acuerdo con la concepción de aprendizaje adoptada, integran el contenido necesario para el logro de los objetivos propuestos como, por ejemplo, conocimientos, habilidades, procesos, estrategias, sentimientos, valores, y otros.
• El desempeño de los protagonistas, cada uno en el rol que le corresponde: los estudiantes en la apropiación creadora de los contenidos, y los docentes, en la organización de las tareas y condiciones para una apropiación de esta naturaleza.
• El diseño del proceso. Es importante para el profesor valorar cómo la clase cumple su función desarrolladora, lo que supone comprobar su funcionamiento como microsistema, y cada uno de sus componentes en su interrelación.
• Los métodos de aprendizaje y de enseñanza planificados, pues este componente, como momento de concreción del diseño del proceso, constituye un elemento integrador por excelencia, y su valoración hace «emerger» los problemas y dificultades más significativos que pueden encontrarse en otros elementos y aspectos del proceso.
• El propio componente evaluativo, su planificación, los instrumentos elaborados y aplicados, así como su procesamiento. Esto resulta muy necesario, pues a veces los resultados de la evaluación resultan insatisfactorios y se buscan las causas en diferentes factores, aunque generalmente no se cuestiona la pertinencia de los criterios valorativos asumidos, ni de los instrumentos y técnicas aplicadas para la evaluación

2. Seleccionar los métodos, procedimientos y los instrumentos para evaluar ¿Cómo se evalúa? ¿Con qué se evalúa?

La selección de los métodos, procedimientos y los instrumentos de evaluación constituye también una problemática para los/las, quienes generalmente, cuando piensan en métodos, piensa en «la clase que da», en el contenido nuevo que el alumno aprende. Sin embargo, al diseñar este componente, el profesor debe determinar cuáles acciones evaluativas debe desarrollar con sus estudiantes para garantizar una información confiable, objetiva y válida.

La preparación de pruebas, exámenes, preguntas, tareas individuales y grupales, teóricas y prácticas, actividades investigativas, entre otros procedimientos de evaluación, constituye también un aspecto al que el profesor debe prestar atención y por tanto, debe preparase para ello. Los diferentes contenidos de enseñanza-aprendizaje exigen de formas diferentes de evaluación. Técnicas y procedimientos tan disímiles de evaluación como la observación, los registros anecdóticos y los diarios de clase, los textos escritos, producciones plásticas y musicales y otros productos de la actividad, los juegos de simulación y dramáticos, las entrevistas, los diálogos, debates y asambleas, entre otros, permiten a los maestros y maestras buscar creadoramente alternativas para caracterizar el estado actual y potencial de sus estudiantes no sólo en relación con los contenidos conceptuales, sino también con los contenidos procedimentales y afectivos-valorativos.

3. Determinar el momento adecuado para evaluar ¿Cuándo se evalúa?

Siempre, evaluando en cada momento lo que se necesite. Así el profesor evaluará la marcha sistemática del proceso, mediante variadas actividades e instrumentos acorde con la diversidad de tareas desarrolladas por el alumno durante el aprendizaje.

La evaluación parcial será determinada por el docente acorde con los momentos en que deben evidenciarse saltos cualitativos en el estudiante acorde con el diseño de su curso y/o la estrategia elaborada. Así será al terminar varias unidades, o al final de cada bloque de contenido. Esta evaluación se fundamenta en la sistematización de los contenidos que el estudiante va desarrollando.

Es importante destacar que aún cuando no haya examen o prueba final, o no exista una actividad dedicada exclusivamente a la evaluación final, los objetivos generales o finales de la asignatura deben ser evaluados, pues estos revelan, en primer lugar, el mayor nivel de generalidad y sistematización de los conocimientos, habilidades y valores de los que deben apropiarse los/las estudiantes. En segundo lugar, de violarse este nivel, la comprobación de la efectividad y pertinencia de los niveles superiores del proceso resultaría mutilada.

4. Dar participación a los alumnos/alumnas en su evaluación.

Durante mucho tiempo, el proceso de control y evaluación se ha visto como una tarea propia y única del profesor. En los marcos de esta concepción de enseñanza – aprendizaje donde el alumno es considerado como centro y protagonista activo, y los métodos conducen a la participación consciente y autor regulada del estudiante en el proceso, resulta esencial pensar en la necesidad de cambios en la concepción del control y la evaluación. En este sentido, la evaluación no es prerrogativa exclusiva de profesores y profesoras. Los/las estudiantes participan en su evaluación (aprenden a autoevaluarse objetivamente y a evaluar igualmente a sus compañeros) como vía para la autorregulación de su aprendizaje.

En este sentido, otro elemento de la concepción de enseñanza – aprendizaje planteada que corrobora la necesidad de asumir vías diferentes –que incluyan a los/las aprendices- para el control y la evaluación, es el relacionado con la importancia asignada a la metacognición.

Conclusiones

Como resultado de la investigación realizada se pudo arribar a las siguientes conclusiones:

 

• 1. Para que un alumno de la educación secundaria sea capaz de solucionar problemas propios de las diferentes asignaturas y de la vida cotidiana, con una actuación transformadora y valorativa, aplicar los conocimientos asimilados, emplear de estrategias y técnicas de aprendizaje específicas, y actuar con un nivel de independencia y autorregulación de su conducta adecuado a su edad, tal y como se declara en el Modelo de Secundaria Básica resulta imprescindible el enfoque desarrollador del proceso de enseñanza – aprendizaje en todas las asignaturas del currículo.
• 2. El enfoque desarrollador del proceso de enseñanza– aprendizaje de la Matemática en la escuela cubana, en particular en la Educación Secundaria Básica, no puede estar ajeno a las exigencias que plantea la concepción desarrolladora de las Ciencias, ni a las tendencias actuales internacionales de la enseñanza de esta ciencia, las cuales aportan elementos esenciales para diseñar, ejecutar y evaluar el proceso.
• 3.  La concepción de una estrategia para la enseñanza de la Matemática en la Secundaria Básica, en el contexto actual de las transformaciones que se realizan en este nivel educacional, que propicie un aprendizaje para toda la vida, debe estar sustentada en: a) la relación entre educación, desarrollo y aprendizaje, b) el enfoque desarrollador del proceso de enseñanza – aprendizaje, y c) en el enfoque desarrollador de la enseñanza de las ciencias.

Clases de repaso desarrolladas en donde se aplicó la estrategia didáctica

Clase de repaso # 11, dado que era la primera clase de repaso, se tuvo presente que un primer repaso, es decir, inmediatamente después de haber introducido el contenido, tiene carácter de profundización, luego se planteó en la fase de motivación la siguiente situación problemática:

El área de un rectángulo es de 24 unidades cuadradas y su ancho es de 3 unidades. ¿Cuál es el valor de p en la ecuación cuadrática si se sabe que una de las soluciones de dicha ecuación es numéricamente igual a la longitud del lado de dicho rectángulo.

Este ejercicio se formuló para todos los alumnos y se pidió que lo resolvieran en parejas. A algunos alumnos que presentaba dificultades en la asignatura se les brindaron las ayudas siguientes:

¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?

¿Cómo se puede calcular la longitud del lado que se desconoce?

¿Si una de las soluciones de la ecuación es ¿Cómo podemos calcular el valor de p?

Todos los alumnos pudieron resolver el ejercicio sustituyendo el valor hallado en la ecuación y despejando posteriormente el valor de p.

Luego el profesor planteó la siguiente situación problémica ¿Cómo hallar los valores de p y q, conociendo las soluciones de la ecuación?

Dado que los alumnos todos manifestaron la imposibilidad de dar respuesta a esta pregunta problémica, entonces el profesor explicó que existe una relación entre las soluciones de la ecuación y el valor de sus coeficientes.

Ya en la fase de desarrollo de la clase se subdividió el grupo clase en pequeños subgrupos de 4 estudiantes. A cada subgrupo se le orientó el ejercicio siguiente:

Resuelve las ecuaciones siguientes:

 

7.1. Calcula en cada caso

7.2. Compare los resultados obtenidos con el coeficiente de la x y con el término independiente

7.3. ¿A qué conclusión puedes llegar?

7.4. Resuelve la ecuación 2×2 – 11x +14=0 y compruebe si sucede lo mismo

7.5. Completa los espacios en blanco:

Si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma x2 + px + q = 0, entonces se cumple que:

X1 + X2 = _____

X1 . X2 = ______

Como se puede apreciar este es un ejercicio portador de nueva información, que le permite a los alumnos descubrir mediante una generalización la relación que existe entre las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma x2 + px + q = 0 y el valor de los coeficientes p y q. Esto no es otra cosa que el teorema de Vieta, que luego estudiarán en el 10mo grado. De modo que a esto último no se hará referencia en la clase.

Concluida la realización del ejercicio se analizó en el grupo grande la solución. Quedó a cargo del profesor hacer algunas precisiones y aclaraciones.

En la clase se plantearon otros ejercicios como los siguientes:

Para el primer nivel de desempeño:

1. Escribe las ecuaciones de la forma que tienen las soluciones que se indican en cada caso

• a) x1 = 2 y x2 = 9
• b) x1 = 7 y x2 = 49
• c) x1 = 0.5 y x2 = 0.25

Para el segundo nivel de desempeño:

1. Determine para qué valores de m la ecuación tiene solución única.

2. Averigua los valores que debe tomar p para que la ecuación tenga soluciones iguales.

Para el tercer nivel de desempeño:

1. Para las soluciones de la ecuación se cumple que: Determina el valor de q.

2. Demuestra que la suma de las dos soluciones de la ecuaciónes – b/a y su producto c/a.

3. Determina K en la ecuación de modo que una de las soluciones sea x=4.

4. Averigua los valores que debe tomar K para que la ecuación tenga dos soluciones iguales.

5. Determina K en la ecuación de modo que entre las soluciones x1 y x2 exista la siguiente relación:

a) x1 = x2

b) x1 = -4×2

La clase de repaso # 12, se motivó con la siguiente situación problemática:

Cada graduado de 9no grado escribe la dirección de los demás alumnos del aula En total se copian 600 direcciones. ¿Cuántos alumnos tiene el aula?

Durante el desarrollo de esta clase se ejemplificó a los alumnos el programa heurístico general para la resolución de problemas.

– Orientación hacia el problema :

P: Lee detenidamente el problema y exprésalo con tus palabras. ¿De qué se trata el problema?

¿Qué debemos hallar?

¿Qué datos nos dan?

¿Qué podemos hacer en este caso?

¿Cómo pudiéramos representar la situación planteada?

¿Cómo podemos escribir el número de alumnos y de direcciones que escribe cada alumno?

¿Es necesario introducir variables? ¿Cuál? ¿Qué representa?

-Trabajo con el problema

¿Pudiéramos establecer alguna relación entre los elementos dados y buscados?

¿Cómo?

¿Qué nos hace falta para hallar la solución?

¿Es posible plantear una ecuación que nos permita hallar la solución del problema?

Si cada graduado escribe la dirección de los demás alumnos del aula ¿Cómo pudiéramos expresar el total de direcciones?

-Solución del problema

El alumno ejecuta el plan de ejecución.

n (n-1)=600

n2- n – 600=0

(n -25) (n+24)=0

n1 = 25 n2 = – 24

Evaluación de la solución y de la vía de solución

Comprobación del problema en el texto y el análisis de las otras vías de solución. Con la finalidad de que los alumnos fijen los conocimientos adquiridos en la unidad

Durante el desarrollo de la clase se plantearon otros problemas como los siguientes:

Para el primer nivel de desempeño:

1. Descomponer el número 15 en dos factores cuyo producto sea 54

2. Halla un número positivo cuyo cuadrado, sumado con el doble del número, da 48

3. El producto de dos números consecutivos es 210. ¿Cuáles son los números?

4. Halla un número positivo, tal que su cuadrado excede en 55 al séxtuplo del mismo número

Para el segundo nivel de desempeño:

1. Dos números difieren en 4, y la suma de sus cuadrados es 250. ¿Cuáles son estos números?

2. Halla dos números positivos cuya diferencia sea 2 y el producto es 8.

Para el tercer nivel de desempeño:

1. Halla un número de dos cifrasen que la cifra de las decenas es igual al cuadrado de la cifra de las unidades, y la suma de las dos cifras sea 12.

2. Hállense tres números consecutivos en los que el cuadrado del número del medio sea mayor en una unidad al producto de los dos restantes.

3. Leonard Euler, fue un matemático suizo. A el se debe e siguiente problema:

Dos campesinas llevaron al mercado 100 huevos en total; una de ellas tenía una cantidad mayor de huevos que la otra, no obstante ambas obtuvieron por la venta iguales sumas de dinero. Una de ellas le dijo a la otra: «Si yo tuviera tus huevos ganaría 15 pesos. La segunda le contestó: «Y si yo tuviera los tuyos, obtendría por ellos pesos. ¿Cuántos huevos tenían cada una?

4. Se quiere calcular mentalmente sin realizar todos los cálculos señalados, el siguiente cociente:

para realizar este cálculo, es necesario determinar los números de la serie de Rachinski, que cumple las propiedades siguientes:

• a) son cinco números consecutivos.
• b) La suma de los cuadrados de las tres primeras cifras es igual a la suma de los cuadrados de otras dos.

¿Puede ustedes determinar los números que integran esta serie?

En la orientación del estudio independiente se le orientó a los alumnos que trabajaron en estos dos ejercicios que recopilarán datos biográficos de Euler.

Se les dio a conocer, además, que Rachinski fue un catedrático ruso, profesor de Ciencias Naturales de la Universidad.

Para este grupo de estudiantes se orientó además el ejercicio siguiente:

En una fiesta de graduación de un grupo de 9no grado de una Secundaria Básica, todos los asistentes se estrecharon la mano en señal de despedida. En total se produjeron 66 apretones de mano. ¿Cuántos fueron los graduados?

La clase de repasó # 13, se motivó con la siguiente situación problemática, relacionada con la vida:

1. El huerto de una escuela tiene forma de rectángulo, cuyos lados miden 30,5 m y 29,7 m, respectivamente. Se pretende hacer una remodelación de las dimensiones de este, según se muestra en la figura siguiente y de manera que su área aumente hasta 1721 m2: ¿Cuánto debe medir x en estas circunstancias?

 

Una vez planteado el problema a todo el grupo se subdividió en pequeños grupos de 4 estudiantes cada uno para que intentaran resolver el problema, se les informó a los alumnos que emplearán los pasos que se estudiaron en la clase anterior.

Mientras los alumnos trabajaban en la solución del ejercicio, el profesor dio algunos impulsos útiles para resolver el problema.

Concluido el ejercicios se expuso por los integrantes de un subgrupo la solución y a partir de aquí se explicó cómo un ejercicio geométrico de cálculo podía resolverse con ayuda de las ecuaciones cuadráticas, lo cual se continuaría trabajando en la clase.

En el desarrollo se propusieron otros ejercicios como los siguientes:

Para el primer nivel de desempeño:

1. El lado mayor de un rectángulo es 4,0cm mayor que el lado menor. Calcula la longitud del lado menor si se sabe que su área es de 60 cm2

2. Un triángulo tiene 3,0cm más de altura que de base y su área es 20 m2 . Halla la longitud de su base y de su altura.

Para el segundo nivel de desempeño:

1. La base mayor de un trapecio mide 12mm y la altura es el doble de la base menor. Si el área es igual a 160 mm2, ¿cuánto miden la base menor y la altura?

2. la diferencia entre el valor numérico del perímetro y el área de un cuadrado es 3, siendo el área el número menor. Halla la longitud del lado del cuadrado.

3. Un jardín de forma rectangular tiene 2700 m2 de superficie y su perímetro mide 210 m. Cuáles son sus dimensiones.

Para el tercer nivel de desempeño:

1. El perímetro del fondo cuadrado de un depósito es 96 m menor que el número de metros cuadrados del mismo fondo del depósito. ¿Cuál es la longitud del lado?

2. En un terreno rectangular, el largo es el doble del ancho. Si el largo aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se duplica. Halla las dimensiones del terreno.

3. Un parque tiene 480 m de largo y 320 m de ancho. Se decide duplicar su área, conservando la forma rectangular. Para ello se añaden dos franjas de terreno de igual ancho a dos lasos consecutivos. Halla el ancho de las franjas.

3. Comprueba que la diferencia entre las áreas de un triángulo rectángulo isósceles de lados a+b y otro triángulo rectángulo escaleno de lados a+b y a-b (a>b) es igual al área de un rectángulo de lados a+b.

Como se puede apreciar esta clase tuvo como propósito integrar los conocimientos de geometría y ecuaciones cuadráticas.

Todos los ejercicios propuestos para esta clase se desarrollaron en pequeños grupos para propiciar el debate y el intercambio de ideas y opiniones de los alumnos.

En la etapa de evaluación se decidió hacer evaluaciones orales en el desarrollo de cada una de las clases de repaso y una evaluación escrita, que se proyectó de la siguiente manera.

Evaluación escrita

A continuación se proponen tres ejercicios para que usted seleccione cuál de ellos desea resolver.

Aclaración:

A cada ejercicio corresponde una calificación diferente

Ejercicio # 1	Ejercicio # 2	Ejercicio # 3
Las soluciones de una ecuación de la forma son: x1= 8 y x2 = -4. Determine los valores de p y q. Compruebe que esos son los valores verdaderos.	Determine los valores positivos de p, para que la ecuación   tenga exactamente una solución.	Una de las soluciones de la ecuación es x1 = 3. Determina el valor de m.

 

Autores:

Dr. C. Eloy Arteaga Valdés

Lic. Lisdaynet Armada Arteaga

Lic. Fadaray García Lima

Lic. Alejandro Díaz

[1] Hacia una concepción del aprendizaje desarrollador. Colección Proyectos. Colectivo de autores.– p. 42

[2] Hacia una concepción del aprendizaje desarrollador. Colección Proyectos. Colectivo de autores.- p .66

[3] ZILBERSTEIN TORUNCHA JOSéY PORTELA FALGUERAS ROLANDO. Una concepción desarrolladora de la motivación y el aprendizaje de las ciencias. IPLAC.- 2002.-p 24-40

[4] GIL PéREZ DANIEL y GUZMÁN OZÁMIZ MIGUEL. Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. Tendencias e Innovaciones.- Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura.- Editorial Popular. – 1993.- p. 63-93

 

La Didáctica de las Matemáticas: una visión general.

Introducción

Didáctica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal (1991, p 45), la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal.

Para Brousseau (Kieran, 1998, p.596), la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento. Saber que es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica.

Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situación de enseñanza y aprendizaje, Schoenfeld (1987) postula una hipótesis básica consistente en que, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los alumnos pueden ser comprendidas y que tal comprensión ayudará a conocer mejor los modos en que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de interés es, por lo tanto, explicar qué es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos.

Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. Steiner considera que la didáctica de la matemática debe tender hacia lo que Piaget denominó transdisciplinariedad lo que situaría a las investigaciones e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las múltiples disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras sin olvidar a la propia Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.

La didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de los diferentes niveles educativos. Para una visión histórica del desarrollo de la didáctica, remitimos al lector interesado a una reciente publicación (Kilpatrick, Rico y Sierra, 1992), donde el primer autor muestra una amplia panorámica desde una perspectiva internacional, y los otros dos autores se centran más en el desarrollo de la misma en España durante el siglo XX.

 

1 La tendencia curricular conocida como matemática moderna

A finales de los años cincuenta y comienzo de la década de los sesenta, se produce un cambio curricular importante en la enseñanza de las matemáticas escolares, conocida como la nueva matemática o matemática moderna.

Las bases filosóficas de este movimiento se establecieron durante el seminario de Royamount, celebrado en 1959. En el transcurso del mismo, el famoso matemático francés Jean Diudonné lanzó el grito de «abajo Euclides» y propuso ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en el carácter deductivo de la matemática y que partiera de unos axiomas básicos en contraposición a la enseñanza falsamente axiomática de la geometría imperante en aquellos momentos. En ese mismo seminario la intervención de otro matemático francés, G. Choquet va en el mismo sentido: … disponemos de un excelente ejemplo, el conjunto de los números enteros, donde estudiar los principales conceptos del álgebra, como son la relación de orden, la estructura de grupo, la de anillo …». Estas dos intervenciones se pueden considerar como paradigmáticas del movimiento que se inicia, pues la primera dibuja el enfoque que ha de caracterizar la enseñanza de la matemática y la otra cuál es el contenido más apropiado. La idea en principio parecía bastante lógica y coherente. Por un lado se pretendía transmitir a los alumnos el carácter lógico-decuctivo de la matemática y al mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y los conceptos de relación y función de la matemática superior. A finales de los sesenta y principios de los setenta parece claro que la nueva matemática ha sido un fracaso. Surgen entonces algunas voces en contra del enfoque adoptado, como es el caso de R. Thom (Modern Mathematics: does it exist? (1973): » Ellos, los bourbakistas, abandonaron un campo ideal para el aprendizaje de la investigación: La geometría euclídea, mina inagotable de ejercicios y la sustituyeron por las generalidades de los conjuntos y la lógica, materiales tan pobres, vacíos y frustrantes para la enseñanza como los que más. El énfasis puesto por los estructuralistas en la axiomática no es sólo una aberración pedagógica sino también matemática.»

El fracaso del movimiento conocido como la matemática moderna, pues no se aprenden los conceptos ni las estructuras superiores y además los alumnos siguen sin dominar las rutinas básicas del cálculo, produce nuevos movimientos renovadores. Entre estos movimientos, en lo que sigue, nos referiremos a los conocidos como retorno a lo básico, la resolución de problemas y la matemática como actividad humana.

El retorno a lo básico (Back to Basic), supuso para las matemáticas escolares retomar la práctica de los algorítmos y procedimientos básicos de cálculo. Después de un tiempo, se hizo evidente que tal retorno a lo básico no era la solución razonable a la enseñanza de las matemáticas. Los alumnos, en el mejor de los casos, aprendían de memoria los procedimientos sin comprenderlos. A finales de los setenta empezó a cuestionarse el eslogan «retorno a lo básico». ¿Qué es lo básico? Ya que no parecía posible enseñar matemáticas modernas, ¿habría que enseñar matemáticas básicas?. Esta última pregunta nos lleva a otra de forma natural, ¿qué son matemáticas básicas? ¿la geometría elemental?, ¿la aritmética?. Había demasiadas opiniones sobre qué es «lo básico». Esta pregunta impregnó el III Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME), celebrado en Berkeley en el verano de 1980. ¿Podría ser la resolución de problemas el foco de atención y respuesta a esa pregunta? Casi como una bienvenida a todos los profesores que asisten al ICME el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) edita su famosa Agenda in Action para toda la década de los ochenta. Así la resolución de problemas, the problem solving approach, se pretende que sea algo más que otro eslogan y se convierta en toda una tarea a desarrollar, a interpretar y a llevar a cabo.

En el congreso de Berkeley hay un invitado de honor especial, H. Freudenthal, que interviene en una ponencia bajo el título «Major Problems of Mathematics Education» (Grandes problemas de la educación matemática). Así comenzó H.Freudenthal su intervención: » Perdonadme, no fui yo quién eligió este tema, aunque cuando se me propuso, experimente un gran reto. Un reto, de verdad, pero para ser sinceros no como para emular a D. Hilbert, quién anunció sus famosos 23 problemas de matemáticas en el congreso internacional de matemáticas celebrado en París en 1900, que tanto influyeron el desarrollo y curso de las investigaciones matemáticas a lo largo de este siglo… Para a continuación rechazar el camino seguido por Hilbert y considerar como su centro de interés los problemas que surgen en la educación matemática como una actividad social y no sólo como campo de investigación educativa. Creo que es importante y clarificadora esta toma de postura de Freudenthal, pues a continuación entra de lleno en el problema que considera, no más importante, pero sí más urgente: Lo que es un problema es cómo formularlo correctamente y sin errores . ..Why can Johnny not do arithmetic? , parodiando el título de un famoso libro de M.Kline que aquí fue traducido como El Fracaso de la Matemática Moderna, para preguntarse si suena sexista tal cuestión y si no sonará más sexista aún si la formula como Why can Mary not do arithmetic?, pues esta última formulación sugeriría que las niñas son mucho peores que los niños en aritmética. Por último Freudenthal reformula la pregunta de forma más concreta Why can Jennifer not do arithmetic?, Jennnifer no es un ser abstracto, es una alumna que a los ocho años tenía graves fallos en aritmética y que habían desaparecido a la edad de once años, después de una atención particularizada. En contra del planteamiento general que encierra la pregunta Why can Johnny not do arithmetic? Freudenthal opta por un enfoque particular, así, la pregunta Why can Jennifer not do arithmetic? tiende a plantear un problema particular, individual, que permita abordar el problema personal que Jennifer tiene con la aritmética y sobre todo a profundizar en qué aspectos del aprendizaje de Jennifer la han conducido al fracaso. Tanto Polya (que no pudo asistir, pero que envió una nota de excusa en la que planteaba qué puede hacer el profesor para mejorar la mente de sus alumnos) como Freudenthal sitúan en centro de atención sobre el aprendizaje, el primero solicitando de los profesores un compromiso con el aprendizaje de sus alumnos hacia la adquisición y mejora de las capacidades intelectuales; el segundo en concretar, particularizar los problemas derivados de la enseñanza y en investigar los aprendizajes individuales para dar posibles soluciones a los aparentes fracasos, y obtener ejemplos paradigmáticos de diagnosis y prescripción de los mismos. Freudenthal hace una llamada a la conciencia de todos los profesores e investigadores para que estos ejemplos se registren y se transmitan, de tal forma que unos puedan aprender de los otros y se gestione de forma efectiva el conocimiento en educación matemática.

 

2 Estilos de enseñanza

La matemática como actividad posee una característica fundamental: La Matematización. Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras.

Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematización, la matematización horizontal y la matematización vertical.

La matematización horizontal, no lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas.

En esta actividad son característicos los siguientes procesos :

IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales

ESQUEMATIZAR

FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras

DESCUBRIR relaciones y regularidades

RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas

TRANSFERIR un problema real a uno matemático

TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.

La MATEMATIZACIÓN VERTICAL, consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos:

REPRESENTAR una relación mediante una fórmula

UTILIZAR diferentes modelos

REFINAR y AJUSTAR modelos

COMBINAR e INTEGRAR modelos

PROBAR regularidades

FORMULAR un concepto matemático nuevo

GENERALIZAR

Estos dos componentes de la matematización pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática.

Estructuralismo

Para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de la misma.
El estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría euclídea y en la concepción de la matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que, a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe enseñar la matemática como un sistema bien estructurado, siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje. Ese fue y sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemática Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días.El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la componente vertical.

Mecanicismo

El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la matemática como un conjunto de reglas. A los alumnos se les enseña las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al alumno, más aún, se presta poca atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematización.

El ataque más demoledor a esta planteamiento de enseñanza proviene de H.Freudenthal (1991):   » De acuerdo con la filosofía mecanicista el hombre es como una computadora, de tal forma que su actuación puede ser programada por medio de la práctica. En el nivel más bajo, es la práctica en las operaciones aritméticas y algebraicas (incluso geométricas) y la solución de problemas que se distinguen por pautas fácilmente reconocibles y procesables. Es en este, el más bajo nivel dentro de la jerarquía de los más potentes ordenadores, donde se sitúa al hombre».

Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta dirigida a sus propagadores: ¿Por qué enseñar a los alumnos a ejecutar tareas al nivel en el que los ordenadores son mucho más rápidos, económicos y seguros?

Empirismo

Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje. El empirismo está enraizado profundamente en la educación utilitaria inglesa.

 

Realista

El estilo realista parte así mismo de la realidad, requiere de matematización horizontal, pero al contrario que en le empiricista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc. El principio didáctico es la reconstrucción o invención de la matemática por el alumno, así , las construcciones de los alumnos son fundamentales. Es una enseñanza orientada básicamente a los procesos. Este estilo surgió en los Países Bajos partiendo de las ideas de Freudenthal y ha sido desarrollado por los actuales miembros del Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht ( www.fi.uu.nl ).

Los estilos empiricista y realista desarrollan bastante la componente horizontal pero sólo el último presta atención a la componente vertical, que es casi inexistente en el primero.

 

3. La resolución de problemas

La heurística o ars inveniendi tenía por objeto el estudio de las reglas y de los métodos de descubrimiento y de la invención. La heurística moderna, inaugurada por Polya con la publicación de su obra How to solve it (Polya, 1945), trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones típicamente útiles en este proceso.

3.1 ¿Qué es un problema?

Polya no definió lo que entendía por problema cuando escribió su libro en 1945. Sin embargo, en su libro Mathematical Discovery (Polya, 1961), se vio obligado a proporcionar una definición. Pero no para empezar su disertación, sino en el capítulo 5, y después de una amplia exposición práctica sobre algunos procesos que intervienen en la resolución de problemas: Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.

Otra definición, parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik: Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik, 1980).

De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes:

1) Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.

2) Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.

3) Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración de nuevos métodos para atacar el problema.

Tambien ha existido cierta polémica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio o un auténtico problema.

Lo que para algunos es un problema, por falta de conocimientos específicos sobre el dominio de métodos o algoritmos de solución, para los que sí los tienen es un ejercicio. Esta cuestión aunque ha sido planteada en varias ocasiones, no parece un buen camino para profundizar sobre la resolución de problemas.

R. Borasi (1986), en uno de los primeros intentos en clarificar la noción de problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas:

• El contexto del problema, la situación en la cuál se enmarca el problema mismo.
• La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar.
• El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema.
• El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.

Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificación:

Tipo	Contexto	Formulación	Soluciones	Método
ejercicio	inexistente	Única y explícita	Única y exacta	Combinación de algoritmos conocidos
Problema con texto	Explícito en el texto	Única y explícita	Única y exacta	Combinación de algoritmos conocidos
Puzzle	Explícito en el texto	Única y explícita	Única y exacta	Elaboración de un nuevo algoritmo Acto de ingenio.
Prueba de una conjetura	En el texto y sólo de forma parcial	Única y explícita	Por lo general única, pero no necesariamente	Exploración del contexto, reformulación, elaboración de nuevos algoritmos.
Problemas de la vida real	Sólo de forma parcial en el texto	Parcialmente dada. Algunas alternativas posibles.	Muchas posibles, de forma aproximada.	Exploración del contexto, reformulación, creación de un modelo
Situación problemática	Sólo parcial en el texto	Implícita, se sugieren varias, problemática	Varias. Puede darse una explícita	Exploración del contexto, reformulación, plantear el problema.
Situación	Sólo parcial en el texto	Inexistente, ni siquiera implícita	Creación del problema	Formulación del problema.

Ejemplos

Problema con texto) María ha merendado una hamburguesa y una coca-cola y para pagar su consumición entrega al camarero una moneda de 500 pts. La hamburguesa cuesta 250 pts y la coca-cola 125. ¿Cuánto le devolverá?

Ejercicio) Calcular 4 2+6 3.

Puzzle) A partir de seis cerillas construir cuatro triángulos equiláteros.

Prueba de una conjetura) Demostrar que si a, b y c son enteros impares, entonces las raíces de la ecuación ax²+bx+c no son racionales.

Problemas de la vida real) Queremos enmoquetar una habitación cuya forma es irregular. Deseamos estimar la cantidad de metros cuadrados de moqueta que debemos adquirir.

Situación problemática) Un teorema fundamental establece que la descomposición de un número natural en producto de números primos es única. ¿Qué ocurre si cambiamos en dicho enunciado la palabra producto por la palabra suma?

Situación) Considere las siguientes parejas de números primos gemelos (3,5) (5,7) (11,13), (17,19) (29,31) (41,43) (71,73).

A partir de tal estudio, Borasi considera que, para ser un buen resolutor de problemas, un alumno debería intentar resolver no sólo muchos problemas, sino una gran variedad de los mismos. Además tan importante como resolver problemas es acostumbrarse a plantear problemas a partir de situaciones que requieren una formulación precisa de los mismos.

3.2 El proceso de resolución de un problema

Para George Polya (1945), la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas:

Comprender el problema.

¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?

Concebir un plan.

¿Se ha encontrado con un problema semejante?

¿Conoce un problema relacionado con este?

¿Podría enunciar el problema de otra forma?

¿Ha empleado todos los datos?

Ejecutar el plan.

¿Son correctos los pasos dados?

Examinar la solución obtenida.

¿Puede verificar el resultado?

¿Puede verificar el razonamiento?

 

Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como guía para la acción. Los trabajos de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.

Una pregunta, ¿Por qué es tan difícil entonces, para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas?

Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas.

Recursos congnitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.

Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.

Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.

Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella.

Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco éxito en la resolución de problemas de los resolutores reales. Así, cuando a pesar de conocer las heurísticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heurísticas y un buen control no son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento específico del dominio matemático del problema en cuestión. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento fallido en la resolución.

Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que es resolver problemas en matemáticas o de la propia concepción sobre la matemática haga que no progrese en la resolución. La explicación, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teórico, las creencias.

Por último están las heurísticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en la tarea de resolución.

Las heurísticas son las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas, son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solución.

Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heurísticas. Entre las más importantes cabría citar:

Buscar un problema relacionado.

Resolver un problema similar más sencillo.

Dividir el problema en partes.

Considerar un caso particular.

Hacer una tabla.

Buscar regularidades.

Empezar el problema desde atrás.

Variar las condiciones del problema.

Sin embargo, como bien ha señalado Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido análisis.

Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurística pues se señala una dirección de trabajo, y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema.

Considerar un caso sí se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado, formular un problema relacionado con él. Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heurísticas. (Tal observación parte de una nota marginal de Polya (Polya, 1962, vol 2. p.84))

Por último, hacer una tabla se podría considerar como una destreza al no poseer el carácter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heurísticas.

 

La característica más importante del proceso de resolución de un problema es que, por lo general, no es un proceso paso-a-paso sino más bien un proceso titubeante.

En el proceso de resolución, Schoenfeld ha señalado que tan importante como las heurísticas es el control de tal proceso, a través de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un problema. La característica más importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución de un problema.

Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para la resolución del problema.

Son decisiones ejecutivas:

– Hacer un plan.

– Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos.

– Buscar los recursos conceptuales y heurísticos que parecen adecuados para el problema.

– Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona.

– Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.

Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese término en Inteligencia Artificial, son equivalentes a las decisiones de gestión en el campo de los negocios, o decisiones de táctica y estrategia en el campo militar. El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica en la discusión de fenómenos relacionados con el que aquí tratamos.

Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos tomar, pero también acerca de qué caminos no tomar.

Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas:

¿ Qué estoy haciendo?

¿ Por qué lo hago?

¿ Para qué lo hago?

¿ Cómo lo usaré después?

mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución.

La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolución de un problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolución de un problema es debido a que, la persona que afronta el problema, no dispone de un plan de solución.

Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución. Entre ellas cabe destacar:

– Inflexibilidad para considerar alternativas.

Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo.

– Rigidez en la ejecución de procedimientos.

Más de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situación en la que no es aplicable. Nuestra obstinación es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la situación, aunque distinta, se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz.

– Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción.

Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias tendrá para la resolución del problema?

– El efecto «túnel».

Se produce cuando la ejecución de una tarea es tan absorbente que no hay energías disponibles para la evaluación de lo que se esta realizando. Suele darse más fácilmente cuanto más embebido se está en la ejecución de una acción.

Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya, Mason et al. (Mason, Burton y Stacey, 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heurísticas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denominó como pensamiento productivo.

 

Un modelo para la ocupación con problema (Miguel de Guzmán, 1991, p.80)

Familiarízate con el problema

Trata de entender a fondo la situación

Con paz, con tranquilidad a tu ritmo

Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo

Búsqueda de estrategias

Empieza por lo fácil

Experimenta

Hazte un esquema, una figura, un diagrama

Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada

Busca un problema semejante

Inducción

Supongamos el problema resuelto

Supongamos que no

Lleva adelante tu estrategia

Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior

Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.

¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

Revisa el proceso y saca consecuencias de él

Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?

Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.

Mira si encuentras un camino más simple

Mira hasta dónde llega el método

Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro

3.3 La resolución de problemas como propuesta didáctica

El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la década de los pasados ochenta la resolución de problemas como eslogan educativo de la matemática escolar: En la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas.

¿Qué significa poner el enfoque en la resolución de prolemas?

Cabe al menos tres interpretaciones:

Enseñar para resolver problemas

Proponer a los alumnos más problemas.

Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.

No proponer sólo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la búsqueda, la investigación por los alumnos.

Ejemplos de esta última interpretación se pueden hallar en Callejo (1994), Mason et al. (1988) y Guzmán (1991), Bagazgoitia et al. (1997).

Enseñar sobre la resolución de problemas

Enseñanza de la heurística. El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolución de problemas.

Dentro de esta tendencia hay ejemplos en los mismos trabajos citados anteriormente. Sin embargo, parece ser que las destrezas heurísticas son las más apropiadas para tal fin.

Enseñar vía la resolución de problemas

Enseñar la matemática a través de problemas.

En un seminario celebrado en La Laguna en 1982 e impartido por el profesor Gaulin (M. Fernández 1982), al ser preguntados por objetivos de la resolución de problemas, los profesores asistentes enumeran los siguientes:

Desarrollo de la capacidad de razonamiento

Aplicación de la teoría previamente expuesta.

Resolución de cuestiones que la vida diaria plantea.

La primera propuesta, aunque durante mucho tiempo fue un argumento aceptado generalmente sobre las virtudes de la educación matemática, con el paso del tiempo se ha convertido en un mito. Las dos últimas caen dentro de la primera interpretación anterior. En el mismo artículo, el autor M. Fernández que actuó como informador del seminario, concluye con la siguiente redacción: Al final, pareciéndome que el profesor buscaba algo más, me aventuré a indicar lo que creo suele olvidarse: la propuesta de problemas con el fin de elaborar una teoría, esto es, para explorar y aprender nuevos conceptos. En efecto, comentó, pese a ser eminentemente formativa, no es frecuente que se tenga en cuenta por el profesorado.

Esta es claramente la interpretación tercera de las enumeradas más arriba. Sin embargo, el comentario del Profesor Gaulin deja las cosas de nuevo en su sitio. ¿Por qué no se tiene en cuenta por el profesorado?

 

¿Existe algún patrón que caracterice la práctica educativa?

A falta de estudios serios en nuestro país, me he visto obligado a consultar la literatura científica internacional que existe al respecto.

En las lecciones grabadas en vídeo durante el TIMSS, para el 78% de los temas tratados en 8º (USA), los procedimientos y las ideas sólo fueron mostradas no explicadas ni desarrolladas. El 96% del tiempo empleado por los estudiantes trabajando en las aulas se dedicó a practicar procedimientos que se les había mostrado como hacerlo (Stigler y Hiebert, 1997).

Lo más característico es el énfasis en enseñar procedimientos, en especial procedimientos de cálculo. Se presta poca atención a ayudar a los alumnos a desarrollar ideas conceptuales, o incluso a conectar los procedimientos que están aprendiendo con los conceptos que muestran por qué aquellos funcionan.

El curriculum de matemáticas en USA suministra pocas oportunidades a los alumnos de resolver problemas retadores y de participar en el razonamiento, la comunicación, la conjetura, la justificación y la demostración (Hiebert, 1999).

Podemos concluir con Dossey (Dossey et al. 1988) que la instrucción matemática en las aulas de secundaria puede caracterizarse con ligeras variaciones, como la actividad que consiste en la explicación del contenido por el profesor, trabajo individual de los alumnos sobre las tareas propuestas y corrección de las mismas, dirigidas al gran grupo, en la pizarra. La mayoría de las veces, y debido a la dificultad del contenido o al tiempo disponible, la explicación se dirige hacia un nivel medio de la clase, cuando no al más alto, y hacia el aprendizaje directo de determinados algoritmos o definiciones. Los informes preliminares del TIMSS sugieren incluso un enfoque mucho más formalista para nuestro país (Beaton et al. 1996, página 155). El resultado de tal práctica es, por lo general, una prevalencia de aprendizajes rutinarios, carentes de significado, y la construcción de esquemas conceptuales débiles por los alumnos, que se manifiestan en una pobre actuación, sobre contenidos supuestamente aprendidos, después de un cierto tiempo.

Los maestros y los profesores enseñan de la misma forma en que fueron enseñados en la escuela.

Lo expuesto, creo que explica en parte por qué no se enseña matemáticas a través de la resolución de problemas.

 

3.4 La propuesta didáctica

Nuestras creencias sobre qué es matemática influye en la forma en que la enseñamos.

Además, nuestras creencias pueden ser un obstáculo. Un obstáculo insalvable.

Los profesores que ven su tarea como la transmisión de un conocimiento acabado y abstracto tienden a adoptar un estilo expositivo. Su enseñanza está plagada de definiciones, en abstracto, y de procedimientos algorítmicos. Solo al final, en contados casos, aparece un problema contextualizado como aplicación de lo que supuestamente se ha aprendido en clase. La resolución de problemas se queda para el Taller de Matemáticas, en clase hacemos cosas más serias, las auténticas matemáticas.

Esta forma de entender la enseñanza tiene nombre, se conoce como mecanicismo. De acuerdo con la filosofía mecanicista el hombre es un instrumento parecido al ordenador, cuya actuación al más bajo nivel puede ser programada por medio de la práctica repetitiva, sobre todo en aritmética y en álgebra, incluso en geometría, para resolver problemas distinguibles por medio de patrones reconocibles que son procesados por la continua repetición. Es en este nivel más bajo, dentro de la jerarquía de los más hábiles ordenadores, donde se sitúa al hombre. (Freudenthal, 1991, p.134). En Psicología esta tendencia se conoce como Conductismo.

Si por el contrario, consideramos que el conocimiento matemático no es algo totalmente acabado sino en plena creación, que más que conceptos que se aprenden existen estructuras conceptuales que se amplían y enriquecen a lo largo de toda la vida, entonces ya no bastará con la exposición. Habrá que hacer partícipe a los alumnos del propio aprendizaje. Y sólo hay una forma de hacer partícipe a los alumnos: dar significado a todo lo que se enseña.

Para desarrollar los hábitos de pensar sólo hay un camino, pensar uno mismo. Permitir que los alumnos participen en la construcción del conocimiento es tan importante a más que exponerlo. Hay que convencer a los estudiantes que la matemática es interesante y no sólo un juego para los más aventajados. Por lo tanto, los problemas y la teoría deben mostrarse a los estudiantes como relevante y llena de significado.

Tales creencias son, posiblemente, la causa de que una propuesta que se formuló hace más de 50 años y que ha merecido la atención de ilustres personas, todavía sea hoy tema de debate y clarificación.

Si aceptamos cualquiera de las tres formas de enfoque en resolución de problemas, la primera pregunta que nos viene a la cabeza es qué estamos enseñando. Una pregunta relacionada: ¿qué aprenden los alumnos?.

Propongo que formulemos la pregunta de otra forma: ¿Cómo enseñamos? ¿Cómo aprenden los alumnos?

Todas las propuestas que se han hecho, establecen qué enseñar. Ninguna cómo enseñar.

Si queremos que nuestros alumnos aprendan a resolver problemas, entendiendo el término bajo las tres acepciones anteriores, hemos de diseñar y desarrollar nuestra enseñanza según tales términos.

Yo estoy convencido que es posible articular un currículo cuya metodología sea la resolución de problemas y que con tal currículo se pueden cubrir aspectos profundos de los conceptos matemáticas. Pero a costa de eliminar muchos procedimientos de tipo algorítmico, cuya presencia en los libros de texto y en los currículos constituyen hoy un puro anacronismo.

Terminaré completando la cita de Polya con la que comencé esta conferencia.

Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

(George Polya, prefacio a la primera edición en inglés de How to solve it. Princeton University Press. 1945)

 

4 Disciplinas que han influido en la Didáctica de las matemáticas.

Una premisa básica que subyace a todo trabajo en didáctica de las matemáticas, y en concreto desde la perspectiva de la ciencia cognitiva, es que las estructuras mentales y los procesos cognitivos son extremadamente ricos y complejos, pero pueden ser entendidas y que tal comprensión producirá importantes avances en nuestro conocimiento sobre las diversas formas en que tienen lugar el aprendizaje.

Durante la mayor parte de este siglo, la investigación en didáctica de las matemáticas ha estado influida por una corriente conocida como asociacionismo (ver apartado), cuya recomendación pedagógica más simple era la práctica educativa de ejercicios bien secuenciados. No se prestó ningún interés en explorar las estructuras cognitivas del individuo. En el caso más extremo, Skinner llegó a afirmar que quedaba fuera de lugar en su teoría, por poco útil, cualquier atención a las estructuras mentales.

4.1 Una metodología de investigación: el paradigma agrícola

Las metodologías de investigación imperantes desde la década de los cincuenta hasta bien entrada la de los setenta se puede resumir en el paradigma agrícola. Se confió en los métodos estadísticos a gran escala y en el análisis de datos (Schoenfeld, 1987, p. 7). Tales análisis provenían de la asunción de que los patrones obtenidos a partir de datos de un gran número de personas aportaban una información más fiable que los obtenidos a partir de individuos particulares. El problema fundamental era el control de variables. La cantidad de pesticida, agua y la acidez del suelo entre otras, eran más fácilmente controlables en un experimento agrícola que en un experimento educativo. Otra distinción importante era la de grupo experimental y grupo de control. El primero recibía todas las atenciones necesarias contempladas como variables que mejorarían el rendimiento de los alumnos, mientras que el segundo seguirían una enseñanza normal. De esta forma, cualquier mejora en los alumnos del primer grupo, el experimental, se atribuiría a las recomendaciones pedagógicas, metodología o materiales empleados. Un problema fundamental aquí, es que no se controlaban las diferencias individuales de los alumnos, o no se utilizaban en el análisis de los datos obtenidos. Así, si se quería establecer alguna relación entre habilidades visuales espaciales y el sexo de los alumnos, se sometía una amplia muestra de alumnos a un test y, mediante el análisis estadístico, se establecía determinada correlación. Un ejemplo de esto último es el hallazgo de que los alumnos varones poseen mejores habilidades visuales que las alumnas. Otro ejemplo, es que la habilidad verbal es un aspecto importante de la resolución de problemas. Además, el propio test caracterizaba tales habilidades, de forma que poseerlas implicaba obtener determinada puntuación en los tests correspondientes.

Durante los sesenta y los setenta muchas de tales investigaciones proporcionaron un gran número de estudios ambiguos o contradictorios, de tal forma que no se disponía de hallazgos importantes que arrojaran luz sobre la educación. Lo cual muestra la dificultad de aplicar tal paradigma a la educación. Por desgracia para los investigadores los alumnos han demostrado ser mucho más complejos que los campos de cultivo. Algunos investigadores, entre ellos Kilpatrick, propusieron aparcar por un tiempo, las investigaciones estadísticas hasta que se dispusiera de un mejor conocimiento de los procesos mentales que se querían medir.

Proceso versus producto. Ciencia cognitiva.

Desde la Psicología Educativa ha habido dos contribuciones claras a la didáctica de las matemáticas. Una conforma lo que se ha dado en llamar la corriente conductista o neoconductista y la otra la corriente cognitiva. Brevemente exponemos ambas contribuciones.

4.2 Aportación del conductismo y neoconductismo a la didáctica de las matemáticas

El asociacionismo de Thorndike

A comienzos de siglo E.L. Thorndike inició una serie de investigaciones en educación que caracterizarían con el paso del tiempo, a lo que se ha denominado como corriente conductista en educación matemática. Thorndike se interesó en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de respuestas satisfactorias. Ideó un tipo de entrenamiento en el que los vínculos establecidos entre los estímulos y las respuestas quedarían reforzados mediante ejercicios en los que se recompensaba el éxito obtenido.

El propio Thorndike denominó conexionismo (asociacionismo) a este tipo de psicología. El aprendizaje es el producto de un funcionamiento cognitivo que supone ciertas conexiones o asociaciones de estímulo y respuesta en la mente de los individuos. Por tanto, los programas para enseñar matemáticas podrían elaborarse sobre la base de estímulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados de este proceso se podrían objetivar en cambios observables de la conducta de los alumnos.

En 1922 publicó su libro The Psychology of Arithmetic. En él presentaba el principio central de su teoría del aprendizaje: todo el conocimiento incluso el más complejo esta formado por relaciones sencillas, vínculos entre estímulos y respuestas. Así, la conducta humana, tanto de pensamiento como de obra, se podría analizar en términos de dos sencillos elementos. Si se reducía la conducta a sus componentes más elementales, se descubría que consistía en estímulos (sucesos exteriores a la persona) y repuestas (reacción a los sucesos externos). Si se premiaba una respuesta dada a un estímulo propuesto, se establecía un vínculo fuerte entre estímulo y respuesta. Cuánto más se recompensaba la respuesta más fuerte se hacía el vínculo y por lo tanto, se sugería que uno de los medios más importantes del aprendizaje humano era la práctica seguida de recompensas (ley del efecto).

Thorndike sugirió cómo aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética afirmando que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto determinado de vínculos que conformaban la disciplina a enseñar (lo hizo para la aritmética). Una vez formulados todos los vínculos, la práctica sujeta a recompensas, sería el medio para poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los alumnos.

La teoría de Thorndike significó un gran paso hacia la aplicación de la psicología a la enseñanza de las matemáticas, siendo su mayor contribución el centrar la atención sobre el contenido del aprendizaje y en un contexto determinado como es la aritmética.

El aprendizaje acumulativo de Gagné

Una teoría psicológica que quisiera dominar la enseñanza debería explicar por qué el aprendizaje sencillo facilitaba el más complejo. La lista de vínculos se establecía desde las tareas más fáciles a las más difíciles, sin embargo, no existía una teoría que explicase la dificultad psicológica de las diferentes tareas y por lo tanto, que explicase por qué si se aprendían primero los problemas más fáciles, se facilitaba el aprendizaje de los más difíciles.

El problema central aquí es la transferencia desde un aprendizaje a otro. Thorndike sugirió que tal transferencia podría ocurrir siempre que ambas tareas contuviesen elementos comunes (teoría de los elementos idénticos). Sin embargo la mayor parte de las investigaciones, en la transferencia, se realizaron en experimentos de laboratorio donde se analizaban, en detalle, una o más tareas. Otra empresa, mucho más compleja, era aplicar la teoría al curriculum escolar.

Robert Gagné, con su teoría del aprendizaje acumulativo dio este paso. En su teoría, las tareas más sencillas funcionan como elementos de las más complejas. Así al estar las tareas más complejas formadas por elementos identificables se posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo. Gagné propuso analizar las habilidades disgregándolas en subhabilidades ordenadas, llamadas jerarquías del aprendizaje. De esta manera, para una determinada habilidad matemática, por ejemplo la suma de números enteros, el trabajo del psicólogo consiste en un análisis de las tareas que permite identificar los objetivos o habilidades elementales que constituyen otro más complejo, creando de este modo una jerarquía. Tal jerarquía del aprendizaje permite plantear objetivos perfectamente secuenciados desde una lógica disciplinar.

Sin embargo, una de estas jerarquías no es más que una hipótesis de partida, sobre la manera en que se relacionan entre sí ciertas habilidades matemáticas, y nos lleva a una pregunta importante ¿cómo podemos estar seguros de que tal jerarquía de habilidades es una jerarquía de transferencia que resultará útil para la enseñanza y el aprendizaje?. Además, las secuencias de aprendizaje bajo tales jerarquías se manifiestan rígidas y no tienen en cuenta las diferencias individuales entre los alumnos.

La práctica educativa se centra, por lo tanto, en la ejecución y repetición de determinados ejercicios secuenciados, en pequeños pasos, que deben ser realizados individualmente y que más tarde se combinan con otros formando grandes unidades de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matemática. No se presta importancia al significado durante la ejecución sino que se espera que sea al final de la secuencia, cuando el aprendiz adquiera la estructura que conforma la habilidad matemática. Se presta importancia principal al producto, respuesta de los alumnos, y no al proceso, cómo y por qué se ha dado la respuesta. En definitiva, existe poco o nulo interés en explorar las estructuras y los procesos cognitivos. La enseñanza programada, las fichas y las secuencias largas de objetivos y subobjetivos caracterizan la corriente más radical dentro del conductismo.

Entre las críticas más recientes al diseño de instrucción (instructional design), pues con este término se conoce a la tecnología educativa derivada de los trabajos de Gagne, la más clara es la expuesta por A. Arcavi (1995) que pasamos a exponer.

El diseño de instrucción centra su interés en una descomposición lógica de los contenidos y, por tanto, el diseño puede hacerse a priori por expertos y sin contacto alguno con alumnos. Además, pone el énfasis en los aspectos más conductistas de lo que significa ser competente en matemáticas definiendo «objetivos de conducta». Se presupone que tal diseño debería estar en manos exclusivamente de expertos, quienes son los indicados para establecer los contenidos, los problemas y las secuencias. No parece que de cabida a concepciones alternativas de la actividad matemática y parece implicar que el diseño curricular «riguroso», al tener en cuenta la textura lógica de los contenidos garantiza una trayectoria satisfactoria del aprendizaje.

Un aspecto importante de tales investigaciones es que no se interesaban en qué ocurría durante la realización de determinados problemas, las secuencias de aprendizaje o las cuestiones presentadas en los tests. Si algo miden, tales metodologías, es el producto o resultado del proceso de tales tratamientos. Nunca los procesos de pensamiento involucrados en tales productos. La distinción entre proceso y producto caracteriza, de forma radical, la diferencia entre una metodología conductista o neoconductista y una metodología de tipo cognitivo.

(Para ejemplos sobre jerarquía de habilidades matemáticas y ampliación sobre el contenido de este apartado remitimos a la obra: La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. L.B. Resnick y W.W.Ford. Paidos. Ministerio de Educación y Ciencia. 1990.)

 

4.3 La ciencia cognitiva

La cognición no comienza con los conceptos, sino todo lo contrario, los conceptos son el resultado del proceso cognitivo (Freudenthal 1991, p.18). Las matemáticas, más que ningún otro dominio científico, permiten dar definiciones explícitas desde muy pronto. Por ejemplo, los números pares e impares pueden definirse a partir de los números naturales. Pero la dificultad radica en cómo definir los números naturales. Tales números se generan a partir del proceso de contar, en vez de a partir de una definición. De esta manera pasan a formar parte del sentido común.

El problema central de la ciencia cognitiva es la construcción de los conceptos por los individuos. Qué procesos mentales se activan y cómo tales procesos dan forma al concepto, son preguntas claves en tal metodología de investigación. Lo que le interesa principalmente al investigador cognitivo, es construir un modelo del proceso de comprensión de los alumnos. En tal modelo se debe especificar qué conocimiento particular es accesible a los alumnos, las estrategias de las que se sirven y la naturaleza de la interacción entre el conocimiento y las estrategias desarrolladas.

Un término importante, en ciencia cognitiva, es el de esquema cognitivo o el de esquema conceptual, siendo el primero más general y amplio que el segundo. Para tales términos no existen definiciones precisas, tal y como se entienden en matemáticas. Para hacernos una idea de tal término pensemos en un ejemplo de la matemática elemental. La inclusión, en los curriculum de secundaria, del concepto de función real de variable real es uno de los logros más importantes de la corriente conocida como matemática moderna. Tal concepto se introdujo a partir de las relaciones entre conjuntos, hasta concluir en el par ordenado como definición formal del concepto de función. Así por ejemplo, la función f(x)=x², se define como {(x,y) RxR/ y = x²}. Sin embargo, pocos profesores experimentados, utilizarían tal definición como introducción a las funciones reales. A pesar de ser un ejemplo sencillo en sí es un ejemplo abstracto. Parecería más oportuno comenzar con la construcción de una tabla de valores y a continuación realizar una gráfica de la función. Tal secuencia, presente en muchos libros de la época e incluso hoy día, señala tres aspectos del concepto de función: la fórmula, la tabla de valores y la gráfica. Es decir, tenemos tres aspectos de tres dominios diferentes: el algebraico, el aritmético y el geométrico. Con ambos pretendemos que, la relación abstracta entre las variables x e y que caracteriza el concepto de función real, quede clara. Sin embargo, investigaciones recientes como la llevada a cabo en el Shell Centre de la Universidad de Nottigham (Reino Unido) han puesto en evidencia las dificultades del concepto de función. Entre los hallazgos más importantes encontramos las dificultades que presentan los alumnos para coordinar la información relativa a las dos variables y los dos ejes, presentando los alumnos dificultades a la hora de calcular incrementos de ordenada correspondientes a incrementos de abscisa dada o viceversa (Shell Centre, 1990).

La teoría desarrollada por Jean Piaget

Piaget denominó epistemología genética a su teoría sobre la construcción del conocimiento por los individuos (Piaget, 1987; García, 1997). Su centro de interés es la descripción del desarrollo de los esquemas cognitivos de los individuos a lo largo del tiempo y de acuerdo con ciertas reglas generales.

El principio central de la teoría de Piaget sobre la construcción del conocimiento es la equilibración (Piaget, 1990; García, 1997). Tal equilibración se lleva a cabo mediante dos procesos, íntimamente relacionados y dependientes, que son la asimilación y la acomodación.

Cuando un individuo se enfrenta a una situación, en particular a un problema matemático, intenta asimilar dicha situación a esquemas cognitivos existentes. Es decir, intentar resolver tal problema mediante los conocimientos que ya posee y que se sitúan en esquemas conceptuales existentes. Como resultado de la asimilación, el esquema cognitivo existente se reconstruye o expande para acomodar la situación.

La asimilación y la acomodación se muestran en la teoría piagetiana como las herramientas cognitivas útiles y fundamentales en el restablecimiento del equilibrio cognitivo en el individuo. El binomio asimilación-acomodación produce en los individuos una reestructuración y reconstrucción de los esquemas cognitivos existentes. Si los individuos construyen su propio conocimiento, la equilibración expresa el proceso mediante el cual se produce tal construcción, señalándose así el carácter dinámico en la construcción del conocimiento por los individuos, como hipótesis de partida para una teoría del análisis de los procesos cognitivos (García, 1997, p 41).

La abstracción reflexiva o reflectora es un término definido por Piaget y central en su teoría de la construcción del conocimiento. Piaget llama así a la abstracción que parte de las acciones u operaciones y no meramente de los objetos (Beth y Piaget, 1980, p. 212). La abstracción reflexiva conlleva dos momentos indisolubles (Piaget, 1990, p. 40): un proceso de reflexión, ‘reflejamiento’ o proyección que hace pasar lo que es abstraído de un plano inferior a otro superior (por ejemplo de la acción física a la representación mental) y un producto de la reflexión, una ‘reflexión’ en el sentido mental, que permite una reorganización o reconstrucción cognitiva, sobre el nuevo plano de la que ha sido extraído del plano precedente. En el plano inferior las acciones y operaciones se realizan sobre objetos concretos, físicos o imaginados, mientras que en el plano superior las acciones y operaciones interiorizadas actúan sobre objetos abstractos y las coordina para formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos objetos. Siendo así que el sujeto reconstruye lo así abstraído en un plano superior nuevo, cuyo funcionamiento es distinto, y que tal reconstrucción conduce a un esquema cognitivo más general (Beth y Piaget, 1980, p. 229).

Piaget señaló su carácter constructivo, por lo tanto no de descubrimiento, pues la abstracción reflexiva consiste en traducir una sucesión de actos materiales en un sistema de operaciones interiorizadas cuyas leyes o estructura se comprenden en un acto simultáneo. La abstracción reflexiva se refiere, por tanto, a las acciones y operaciones del sujeto y a los esquemas que le conduce a construir (Piaget y García, 1982 p. 247) y es, por lo tanto, puramente interna al sujeto. Destaquemos aquí que lo que constituye la génesis del conocimiento y que aporta su cualidad constructiva son las acciones y no la mera observación. Pues por medio de las acciones se desencadena el proceso de abstracción reflexiva en el individuo y su conclusión será la construcción mental de un nuevo ente abstracto, objeto o concepto más general.

La importancia del papel jugado por la abstracción reflexiva en la construcción de los conceptos matemáticos ha dado lugar, recientemente, a dos marcos teóricos, extensiones de la teoría desarrollada por Jean Piaget: La generalización operativa (Dörfler, 1991) y el marco teórico acción-proceso-objeto (Dubinsky, 1991 y 1997). Tales marcos teóricos, que no expondremos aquí, pueden ser consultados por los interesados en las citas bibliográficas señaladas.

 

Procesamiento de la información.

Frente a la teoría de Piaget sobre la forma en que las personas comprenden los conceptos y, a partir de ciertos estudios realizados en el campo de la computación sobre habilidades lingüísticas de los humanos, surge en la década de los setenta la teoría denominada procesamiento de la información.

La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la mente actúa (procesan) sobre los datos que proceden del entorno interno o externo (información). Toda la información es procesada por una serie de memorias, que procean y almacenan de forma distinta y que además están sujetas a determinadas limitaciones en su función. La combinación de tales memorias constituyen el sistema de procesamiento de la información.

La información entra en el sistema a través de un registro de entrada sensorial, llamado a veces memoria icónica o buffer sensorial. Esta primera memoria, es capaz de recibir información visual, auditiva o táctil directamente del entorno y puede recibir mucha información al mismo tiempo, pero solo puede almacenarla durante una fracción muy pequeña del mismo después del cual se pierde.

La memoria que se encarga de recoger la información situada en el primer componente, la memoria icónica, es la memoria de trabajo o a corto plazo. La memoria de trabajo es aquella en la que se almacena temporalmente la información codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento activo de la información, es decir, donde se realiza el proceso de pensar.

Por último, se encuentra la memoria a largo plazo o semántica. En este componente del sistema es donde se almacena todo el conocimiento, lo que sabe, el individuo de forma permanente.

Cómo se almacena y cómo se utiliza la memoria semántica por el individuo es una cuestión clave en este modelo de construcción del conocimiento por los individuos. Por ejemplo, cómo utiliza el individuo la memoria semántica para desarrollar y poner en práctica determinadas habilidades como lo es comprender, deducir, generalizar, entre otras. La forma más simple que se ha dado es en una lista larga, estructurada y organizada. Los objetos, piezas de información de tal lista, están conectados mediante vínculos o asociaciones significativas, denominadas redes.

Existen varios modelos, dentro de esta teoría, sobre la memoría semántica y las redes para explicar las habilidades propias del conocimiento en los individuos y todos describen el conocimiento humano como estructurado y organizado. Los modelos más recientes se parecen mucho a las concepciones asociacionistas, siendo así que, se ha considerado recientemente al procesamiento de la información, aunque dentro de la ciencia cognitiva, como un heredero del asociacionismo.

 

 

5 Grupos de Investigación

Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM).

Se constituye en 1996 por iniciativa de profesores del ámbito universitario próximo a los departamentos de didáctica de las matemáticas, aunque entre sus miembros hay profesores de secundaria y primaria interesados por la investigación.

Su objetivo principal es constituir un espacio abierto de reflexión y debate sobre la investigación en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Otro objetivo importante es consolidar la comunidad de investigación en educación matemática en España. Para tal fin, se han creado diferentes grupos de trabajo que agrupan a investigadores interesados en un campo de investigación concreto.

Grupos de trabajo constituidos, coordinadores y dirección electrónica:

• didáctica del análisis

Carmen Azcárate: c.azcarate@cc.uab.es

• aprendizaje de la geometría

Angel Gutiérrez: ANGEL.GUTIERREZ@UV.ES

• didáctica de la estadística y probabilidad

Antonio Estepa: aestepa@piturda.ujaen.es

• pensamiento numérico y algebraico

Bernardo Gómez: gomezb@post.uv.es

• conocimiento y desarrollo profesional del profesor

Salvador Llinares: llinares@cica.es

• educación infantil

Carmen Corral: ccorral@pinon.ccu.uniovi.es

• historia de la educación matemática

José Mª Núñez Espallargas

La sociedad se reúne al menos una vez al año en sesión conjunta y eventualmente, se llevan a cabo reuniones de los diferentes grupos de trabajo.

La sociedad publica un boletín informativo que distribuye entre sus asociados.

Para más información consultar la dirección en internet: www.uva.es/seiem/

 

El grupo internacional Psychology of Mathematic Education (PME).

Fundado en 1976 por H.Freudenthal y E. Fischbein (Israel) durante el Tercer Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) celebrado en Karlsruhe (Alemania).

PME tiene como metas principales:

• Promover los contactos internacionales e intercambiar información científica en el campo de la psicología de la educación matemática.
• Promover y estimular la investigación interdisciplinar en el área señalada anteriormente con la cooperación de psicólogos, matemáticos y educadores matemáticos.
• Avanzar y profundizar en la comprensión de los aspectos psicológicos del aprendizaje y de la enseñanza de las matemáticas así como en las implicaciones que se derivan.

El grupo está abierto a cualquier investigador en activo que asuma las metas anteriores, o interesado profesionalmente en los resultados de tales investigaciones.

El grupo se reúne anualmente, cada año en un país diferente. La última reunión ha tenido lugar en Sud Africa (1998) y la próxima tendrá lugar en Israel (1999). En total, desde su fundación, ha celebrado 22 encuentros internacionales.

Durante los cinco días que dura la reunión tienen lugar sesiones plenarias, comunicaciones de investigaciones en curso, y reuniones de grupos de trabajo.

Los siguientes grupos de trabajo (proyectos) han sido aprobados, en la última reunión, por el Comité Internacional para PME23 (Haifa. Israel, 1999):

Algebra: epistemología, cognición y nuevas tecnologías.

Coordinador Jean-Philippe Drouhard (drouhard@unice.fr).

Investigación en el aula.

Coordinador Simon Goodchild (staffs@lib.marion.ac.uk).

Aspectos culturales en el aprendizaje de las matemáticas.

Coordinador: Norman Presmeg (npresmeg@garnet.acns.fsu.edu).

Psicología de la formación del profesor de matemáticas.

Coordinador: Andrea Peter-Koop (apeter@math.uni-muenster.de)

Aprendizaje y enseñanza de la estocástica.

Coordinador: John Truran (jtruran@arts.adelaide.edu.au).

Más información en la dirección de internet: http://members.tripod.com/~IGPME

 

6 Calidad de los informes de investigación

Una de las mayores preocupaciones de la comunidad de investigadores en educación matemática ha sido la calidad de las investigaciones. Tal preocupación ha llevado a plantear unos estándares para juzgar la calidad de los informes de investigación. Presentamos a continuación los estádares elaborados por el Panel Editor de una de las revistas más importantes en el campo de la educación matemática (Journal for Research in Mathematics Education):

1. Concordancia entre las cuestiones a investigar, procedimientos para la recogida de datos, y las técnicas de análisis de los últimos. También, ¿responde el informe a la cuestión planteada?.
2. Competencia investigadora. El informe de la investigación debería demostrar un uso efectivo y apropiado de las técnicas de análisis y recogida de datos.
3. La investigación debería situarse adecuadamente en la literatura de investigación existente sobre las cuestiones planteadas.
4. Reconocimiento explícito de las asunciones personales. Deberían quedar claras las propias asunciones subjetivas del investigador sobre las cuestiones a investigar.
5. Validez general. ¿Mereció la pena la investigación?. En algún tipo de investigaciones podría ser importante examinar, en qué grado la investigación informa sobre la práctica.
6. ¿Se han cuidado los aspectos éticos durante la investigación?
7. Cualidad general tanto técnica como teórica, y equilibrio entre la cualidad técnica por un lado, y la validez general y los aspectos éticos por el otro.
8. Independencia del informe de investigación respecto de la plausibilidad superficial o de la elocuencia del investigador.
9. Abierto al escrutinio de todos los miembros de la comunidad científica. El informe debería suministrar al lector evidencia de cómo se han recogido los datos, así como qué datos se utilizaron para realizar las interpretaciones.
10. Adherencia a los principios empleados por las disciplinas de las que se han tomado los métodos de investigación.

 

7 Normas de la American Psychological Association (APA) para la redacción de un artículo científico en educación matemática.

Dirección en internet: www.apa.org

Un protocolo seguido por la mayoría de las revistas especializadas en investigación, en educación matemática, es el diseñado por la Asociación Americana de Psicología y que pasamos a exponer de forma abreviada.

Se consideran tres tipos diferentes de artículos:

• Investigación original.
• Revisión crítica de material publicado anteriormente.
• Construcción de teorías fundamentadas en la literatura existente.

Para cada modalidad existe una forma particular de presentación.

Formato para la presentación de una investigación original:

Consta de cinco apartados bien diferenciados:

• Planteamiento del problema a estudiar y objetivos de la investigación.

El objetivo de este apartado es proporcionar una visión amplia del contexto teórico en el que se inserta el problema, concluyendo en el enunciado de una o varias hipótesis.

• Métodos empleados.

Este apartado incluye varias subdivisiones:

Población o muestra. Donde se describen los sujetos que han participado en el experimento.

Materiales utilizados.

Procedimiento empleado. Es importante describir el diseño utilizado y cada uno de los pasos dados en la ejecución del experimento.

• Resultados obtenidos.

En este apartado es importante, también en los anteriores, la claridad y resumen de los resultados obtenidos. Estos deberán presentarse de forma clara y concisa.

• Discusión.

Se valoran e interpretan los resultados del experimento a la luz de las teorías manejadas en el primer apartado. Se presentará también un resumen del estado actual del problema a la luz de los datos aportados por el experimento.

• Referencias bibliográficas.

Se citaran de forma que sean claramente identificables todas las referencias bibliográficas señaladas en el artículo. La finalidad es ayudar a otros investigadores a hacerse una idea más exacta de las principales fuentes y trabajos experimentales utilizados en la realización del experimento.

Las citas deben hacerse según el siguiente formato:

Libros:

Resnick, L.B. y Ford, W.W. (1990). La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Paidos. Ministerio de Educación y Ciencia.

Capítulos en libros:

Dörfler, W. (1991). ‘Forms and means of generalization in mathematics’, en A. Bishop et all (eds), Mathematical Knowledge: Its Growth Through Teaching, Kluwer Academic Publishers, 63-85.

Artículos en revistas especializadas:

Dubinsky, E. (1996). Aplicación de la perspectiva piagetiana a la educación matemática universitaria. Educación Matemática, Vol 8-No3, pp24-41.

Los otros dos tipos de artículos, revisión crítica y construcción teórica, tienen un formato similar al siguiente:

• Definición de un problema, estado actual de la investigación.
• Análisis crítico de los documentos ya publicados.
• Propuesta de dirección futura de la investigación sobre el problema, y en el caso de construcción teórica presentación de una nueva síntesis y avance del modelo teórico tratado.

Tan importante como el contenido es el estilo en que se escribe. El manual de APA considera cuatro aspectos que definen el estilo:

• Presentación metódica de las ideas.

Se refiere a la continuidad en el uso de palabras, conceptos y desarrollo temático desde el principio hasta el final del artículo.

• Fluidez en la expresión.

Presentación concatenada y con ilación de ideas dentro de un discurso en el que no debe haber omisiones, irrelevancias, ni contradicciones. Coherencia de los tiempos verbales y selección cuidadosa de sinónimos. No se acepta el empleo de recursos utilizados en la literatura creativa, como por ejemplo, crear ambigüedad, insertar algo inesperado, cambiar bruscamente de tópico, tiempo verbal o de persona.

• Economía en la expresión.

Empleo justo de la cantidad de vocabulario para decir sólo lo que es necesario.

• Precisión y claridad.

Expresar sólo lo que se quiere significar.

 

Referencias

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Dörfler, W. (1991). ‘Forms and means of generalization in mathematics’, en A. Bishop et all (eds), Mathematical Knowledge: Its Growth Through Teaching, Kluwer Academic Publishers, pp. 63-85.

Dubinsky, E. (1991). ‘Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking’ en D. Tall (editor) Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Publishers, pp. 95-123.

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Callejo, M.(1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea.

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Currículo Educación Secundaria Obligatoria. (1996). Consejería de Educación, Cultura y Deportes. Gobierno de Canarias.

De Guzmán, M. (1991). Para pensar mejor. Labor.

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Enseñar a enseñar las matemáticas

Aprender a enseñar matemáticas no es la suma de aprender matemáticas y aprender a enseñar es, en todo caso, su producto, y su producto pertenece al dominio propio de indagación de la didáctica de las matemáticas.

En 1908, el matemático alemán Felix Klein describía la experiencia de quienes acababan siendo profesores de matemáticas como la experiencia de un doble olvido. El primero lo provocaba lo que los bachilleres se encontraban al entrar en la universidad. Como «en la Universidad se cultivaba exclusivamente la ciencia superior sin tener en cuenta para nada las necesidades de la escuela y sin cuidarse lo más mínimo de establecer un enlace con la enseñanza de la matemática en ésta», los estudiantes procedentes del bachillerato se encontraban con que las matemáticas que se enseñaban y las que acababan de cursar en el bachillerato no parecían tratar de los mismos asuntos y ni siquiera parecían expresarse en el mismo lenguaje. Así, las matemáticas aprendidas en el bachillerato, anuladas, caían en el olvido. El segundo olvido es simétrico del primero: al volver a las aulas de bachillerato como profesor, las matemáticas aprendidas en la universidad no iluminaban nada, de modo que, aunque guardara de ellas «un recuerdo más o menos grato», tenía que olvidarlas en su práctica diaria.

Olvidar dos veces lo que uno ha aprendido no parece una buena manera de adquirir competencias profesionales, y menos si la profesión es la de docente. Pero lo más grave de la descripción de Klein es su persistencia en el tiempo: ha pasado casi un siglo y la situación no es muy diferente.

Viene esto a cuento de una declaración de los presidentes de las Conferencias de Decanos de las Facultades de Ciencias sobre el papel de las facultades en la formación del profesorado de Secundaria, y de alguna opinión vertida en esta sección sobre cuál debiera ser el núcleo de la formación.

Los pobres resultados obtenidos por España en el informe Pisa 2003 sobre la capacidad de los alumnos para usar sus conocimientos matemáticos en situaciones prácticas tienen que ver en gran medida con que lo que mide Pisa no son los conocimientos matemáticos que tienen los alumnos, sino las competencias matemáticas que permiten usarlos. Esto indica deficiencias no sólo en lo que se enseña sino en cómo se enseña, y lo uno y lo otro indica la necesidad de tomarse en serio de una vez la formación del profesorado de secundaria. En serio y de una vez, porque, aunque parezca increíble tras décadas de reformas, la formación del profesorado de secundaria consiste todavía en un curso, el CAP, establecido en 1970, que ha conseguido establecer el triste récord de superar los 35 años de penosa existencia, pese a su general descrédito, ya que la reforma prevista en la LOGSE no llegó a implantarse, ni por el aquel gobierno ni por los posteriores.

La oportunidad para que esta vez se acabe con este despropósito es el espacio europeo de educación superior, en el que está previsto que la formación de profesores de secundaria se realice en un master. Sería lamentable que tras tantos años de espera repitiéramos en nuevos lugares fórmulas viejas.

Una de ellas es la que considera que aprender a enseñar matemáticas es la suma de aprender matemáticas y aprender a enseñar, suma en la que lo substantivo es lo primero y lo segundo es un añadido. Algo así parece desprenderse de la declaración de los presidentes de las conferencias de decanos que afirman que «la capacitación del profesorado de Enseñanza Secundaria se debe basar en una sólida formación en su disciplina» y que «estos conocimientos deberán ser completados con módulos sobre recursos didácticos y metodológicos y también con un período de prácticas en el aula». Por supuesto que nadie puede enseñar matemáticas sin saber matemáticas y, por otro lado, los 240 créditos del futuro Grado en Matemáticas serán garantía de una sólida formación en la disciplina. Ahora bien, Klein ya nos advierte de que una sólida formación en la disciplina puede quedarse separada de lo que los profesores necesitan y resultar de escasa utilidad. Klein proponía un remedio: estudiar las matemáticas elementales desde un punto de vista superior. Así, las matemáticas elementales adquieren sentido para los ojos del profesor de matemáticas y se evita que se produzca el doble olvido. Sin embargo, ese remedio sólo aborda una parte del problema; se queda del lado del profesor de matemáticas como matemático, de su necesidad de verle sentido a lo que enseña. Pero no tiene en cuenta que, en la enseñanza, quien tiene que ver sentido a lo que se está enseñando es el alumno. Para la formación del profesorado de matemáticas es preciso cambiar el punto de vista con que se estudian las matemáticas (elementales), es preciso que las matemáticas se estudien desde el punto de vista de los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Aprender a enseñar matemáticas no es la suma de aprender matemáticas y aprender a enseñar porque hay al menos que aprender las matemáticas de la secundaria desde el punto de vista mencionado. Pero aprender a enseñar matemáticas tampoco consiste en añadir a las matemáticas un conjunto de «recursos didácticos y metodológicos» que parecen independientes del contenido, el sumando «aprender a enseñar». De la misma manera que hay que estudiar las matemáticas desde el punto de vista de los procesos de enseñanza y aprendizaje, hay que estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje en lo que tienen de específico por el hecho de que lo que se está enseñando y aprendiendo es precisamente matemáticas. Aprender a enseñar matemáticas no es la suma de aprender matemáticas y aprender a enseñar es, en todo caso, su producto, y su producto pertenece al dominio propio de indagación de la didáctica de las matemáticas.

La formación de los profesores de matemáticas de secundaria, en lo que tiene de específico de su formación como profesores, que es lo que ha de ser el contenido del master que les capacite para la docencia, ha de tener la didáctica de las matemáticas como núcleo que organiza el conjunto del master, en contra de la opinión que expresó en estas páginas Miguel Ángel Goberna.

La separación entre las matemáticas de la universidad y de la secundaria que señalaba Klein, tiene su reflejo en la separación entre los profesores universitarios y los de secundaria. La incorporación de los de secundaria a departamentos universitarios es un elemento clave para combatir el doble olvido. Las prácticas docentes en los centros de secundaria como parte del master de formación de profesores es una ocasión idónea para establecer vías de acceso para los profesores de secundaria en activo a los departamentos universitarios, que no hay que desaprovechar.

Pero ninguna reforma de la formación inicial del profesorado de secundaria de matemáticas tendrá realmente efectos sociales si no somos capaces de promover la dignificación de la profesión de profesor en todos los niveles y de todas las asignaturas. Para ello hacen falta profundos cambios en las condiciones de trabajo de los profesores en los centros de secundaria y en el aprecio social de su trabajo

ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA

Guía para organizar el día del número y disfrutar de las matemáticas

Pasarlo bien haciendo matemáticas, ese es el objetivo principal que se persigue con este manual de didáctica de la matemática. La experiencia del “Día del Número” llevado a cabo durante más de quince años ha resultado ser un estímulo para los estudiantes de matemáticas a nivel de primaria y secundaria.

En mis primeros años de docencia como profesor de matemáticas observé que los alumnos tenían cierta aversión hacia las matemáticas y desde el Departamento de Matemáticas pensamos qué podíamos hacer para mejorar su actitud. Entonces organizamos el “1º Día del Número”. La idea fue dedicar todo un día a desarrollar actividades lúdicas con los números para que los alumnos, jugando, se lo pasaran bien y se divirtieran. Eso requería, por parte de los profesores, un “antes” –la preparación y organización de la jornada-, un “durante” –desarrollo y control de las actividades-, y un “después” –evaluación y puesta en común de todas las propuestas llevadas a cabo-. Planificamos y pusimos en práctica juegos, adivinanzas, pasatiempos, videos, películas, juegos de magia, etc. El resultado tuvo tanto éxito que se repitió año tras año.

Por un día los números salieron de los libros y de las pizarras y se hicieron vida para hacernos pasar un rato muy agradable. Los alumnos con su creatividad, imaginación y participación desbordaron nuestros propósitos durante la jornada y comprobamos una actitud más motivada después del día del número. La evaluación que les pasamos así lo corrobora.

Es ésta una experiencia exportable a cualquier nivel y de fácil aplicación que pretende contribuir a mejorar el fascinante mundo de las matemáticas.

 

Introducción

En el contexto de la llamada tercera revolución educacional están dadas las condiciones para producir un vuelto radicar en el proceso enseñanza –aprendizaje de manera que se erradiquen paulatinamente los problemas que hoy afectan el aprendizaje.

Para ganar en claridad en lo que respecta a lo que hay que hacer, es necesario tener en cuenta que el rol de la educación es crear desarrollo a partir de la adquisición de aprendizajes específicos y relevantes por parte de los educandos. Pero la educación se convierte en promotora del desarrollo solamente cuando es capaz de conducir a las personas más allá de los niveles alcanzados en un momento determinado de su vida, y cuando propicia la realización de aprendizajes que superen las metas ya logradas.

Para lograr esto es necesario realizar cambios en los contenidos curriculares, de hecho las transformaciones emprendidas en la educación secundaria introduce modificaciones a los contenidos de los programas de las diferentes asignaturas del currículo, se reafirma el concepto de asignatura priorizada, el que continúa siendo cuestionable, si se parte del criterio de que el currículo escolar debe estar integrado por los contenidos necesarios y esenciales para el logro de la formación integral de los y las adolescentes, lo que equivale a decir que aquello que no responda a esa necesidad y esencialidad debe ser eliminado, y lo que permanezca, debe ser tratado con el mismo criterio de prioridad en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Pero estos cambios o modificaciones curriculares no conducen a la solución de los problemas planteados sino se toma en cuenta que el contenido de cada asignatura no solo es objeto de apropiación por parte del alumno, sino también, base para el desarrollo de su personalidad en todos los aspectos.

Es desde esta perspectiva que se comprende que el proceso de enseñanza – aprendizaje en todas las asignaturas del currículo debe que tener un marcado carácter desarrollador.

La Matemática es una de las asignaturas priorizadas en este nivel educacional y ella tiene entre sus objetivos generales el desarrollo de formas lógicas de razonamiento inherentes a las ciencias matemáticas y en general al trabajo científico y práctico del hombre, por lo que tiene una gran cuota de responsabilidad en el desarrollo integral del adolescente en este de este nivel de enseñanza. Esto justifica en cierta medida, por una parte, la identificación de esta asignatura como priorizada, y por otra parte, la necesidad de enfocar su aprendizaje desde una concepción desarrolladora.

Proponer el aprendizaje desarrollador de la matemática implica, propiciar el enfrentamiento sistemático de los alumnos a la resolución de problemas tomados del entorno, estimular la creatividad, enseñar estrategias de aprendizaje, utilizar las formas de actividad colectiva en el desarrollo del proceso de enseñanza – aprendizaje, etc.

Una valoración del proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática en la escuela secundaria básica, permitió a los autores identificar un grupo de deficiencias que apuntan hacia una enseñanza donde prevalece un aprendizaje reproductivo y formal.

Estas dificultades son:

• Las actividades que se le orientan a los alumnos solo exigen de la aplicación rutinaria de los conocimientos y procedimientos asimilados en las video clase.
• No se utilizan las formas de actividad colectiva para organizar la actividad de los alumnos durante la clase.
• No se enseñanza estrategias de aprendizaje que le permitan a los alumnos realizar aprendizajes por si mismos.
• Las actividades que se orientan van dirigidas al desarrollo de los dos primero niveles de desempeño.
• No se emplean ejercicios curiosos e interesantes para fomentar el gusto y el interés por el aprendizaje de la asignatura.
• Insuficiente dominio por parte de los profesores de la esencia y las dimensiones del aprendizaje desarrollador.
• Los profesores no poseen conocimientos acerca de los indicadores necesarios para el diseño, ejecución y evaluación del proceso de enseñanza – aprendizaje desarrollador.

El análisis de estas dificultades motivó a los autores a diseñar una estrategia didáctica para el desarrollo de las video clases, clases de software y clases de repaso en la asignatura Matemática en la secundaria básica, sustentada en las exigencias de un proceso de enseñanza – aprendizaje con carácter desarrollador, en particular en las exigencias de la enseñanza desarrolladora de las ciencias a la luz de las tendencias internacionales actuales en la enseñanza de la Matemática, que se expone en este trabajo.

Programa de la asignatura
1. El sentido de las matemáticas en la enseñanza.

1.1 ¿Por qué enseñar Matemáticas?
1.1.1 Las Matemáticas como ciencia: las matemáticas para los futuros científicos.
1.1.2 Las Matemáticas en la vida cotidiana: las matemáticas para todos.
1.2 Las actitudes de los alumnos/as ante las Matemáticas.

1.3 ¿Qué Matemáticas enseñar? Consideraciones epistemológicas.

1.4 Las Matemáticas en la concepción interdisciplinar: ¿son las Matemáticas un simple instrumento para hacer …?
2. El conocimiento previo del alumno y su importancia para el aprendizaje de las matemáticas.

2.1 El papel del conocimiento previo en el aprendizaje.
2.2 Instrumentos para detectar ideas previas.
2.3 Errores conceptuales: su naturaleza y procedencia en diversos campos de las matemáticas.

– Dificultades de aprendizaje en números.
– Dificultades de aprendizaje en análisis.
– Dificultades de aprendizaje en algebra
– Dificultades de aprendizaje en geometría.
– Dificultades de aprendizaje en estadística y teoría de probabilidades
3. El cambio conceptual en las matemáticas.

3.1 Enseñanza por diagnóstico. Aprendizaje por cambio conceptual.

3.1.1 Ejemplo de enseñanza por diagnóstico en Funciones y Gráficas.
3.1.2 Ejemplo de enseñanza por diagnóstico en Algebra.
3.1.3 Ejemplo de enseñanza por cambio conceptual en Teoría de Probabilidades

4. Aprender a aprender la disciplina.

4.1 Estrategias para la resolución de problemas en la disciplina y procedimientos para enseñarlas.

4.1.1 Aprender a resolver problemas: la resolución de problemas como contenido en sí mismo.
4.1.2 Aprender resolviendo problemas: la resolución de problemas como instrumento metodológico.

5. Actividades de aprendizaje en matemáticas.

5.1 Las concepciones del profesor sobre las Matemáticas como determinantes de las actividades de aprendizaje.

5.2 ¿Cómo se aprenden los distintos tipos de ideas en la disciplina?: contenidos conceptuales y procedimentales.

5.3 Situaciones de aprendizaje para favorecer el desarrollo de actitudes positivas ante la disciplina: la motivación en Matemáticas. Utilización de un soporte lúdico para conseguirla.

5.4 El uso de medios y recursos para el aprendizaje de las matemáticas.

5.4.1 El taller o laboratorio de matematicas: un sitio donde hacer Matemáticas. Diversos recursos manipulativos para aprender Matemáticas.

5.4.2 Los medios tecnológicos de computación para enseñar y aprender matemáticas.
a) Las calculadoras (científicas, gráficas): ¿Cuándo y cómo utilizarlas?
¿Qué tipo de contenidos del curriculum de matemáticas se puede trabajar con calculadoras?
Ejemplos de Actividades desarrolladas con calculadoras.

b) Los ordenadores: los programas CABRI, DERIVE, EXCEL, etc…
¿Cuándo y cómo utilizarlos? ¿Qué tipo de contenidos del curriculum de matemáticas se puede trabajar con ordenadores?
Ejemplos de Actividades desarrolladas con ordenadores.
5.5 Las pequeñas investigaciones como método de aprendizaje de las ideas de las Matemáticas.

6. Evaluación del aprendizaje de los alumnos en matemáticas.

6.1. Las concepciones implícitas de los profesores sobre la evaluación. Su relación con la concepción del papel del profesor en la enseñanza.
6.2. El papel de la evaluación en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
6.3. Tipos de evaluación: sumativa y formativa; inicial, final y continua.
6.4. Planificación de la evaluación.
6.5. Características de las pruebas: validez, objetividad, fiabilidad.
6.6. Tipos de pruebas usadas para evaluar contenidos de matemáticas.

7. Selección, organización y secuenciación del contenido de un curso de matemáticas.

7.1. Los objetivos de la enseñanza de las matemáticas como criterio de selección del contenido de un programa de la disciplina.
7.2. Organización del contenido: la secuencia de lo simple a lo complejo en matemáticas.

8. El diseño de una unidad de matemáticas.

RESUMEN

La importancia de la presente investigación se centra en la influencia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica. Para ello se considero la situación problemática en cuanto a la planificación que realizan los docentes para impartir clase en el área de matemática, ya que las estrategias utilizadas no son las más adecuadas para trasmitir los contenidos a los alumnos.

La investigación tuvo como objetivo general determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica. Se aborda la misma considerando algunas definiciones y antecedentes previos a esta investigación que sirvieron de apoyo para ampliar el conocimiento sobre la temática, como es el caso de la definición de planificación sustentada por Ander Egg (citado por Quintero, 2002) donde se extrae que esta es una acción donde se diseñan actividades para estimular al alumno en el aprendizaje, y estrategia sustentada por Chacón (1979) afirmando que es un conjunto de métodos y materiales organizados para el logro de objetivos. Metodológicamente hablando este estudio se enfocó en una investigación de tipo documental basado en un estudio descriptivo y diseño bibliográfico, enfocando fuentes de información secundaria llegando a la conclusión que la planificación influye de manera positiva ya que ayuda a mejorar la calidad de enseñanza y aprendizaje en el área de matemática al desarrollar estrategias y programas de acción para dar solución efectiva a las dificultades que se presentan a la hora de adquirir un conocimiento sólido. Se recomienda que los docentes deben reunirse periódicamente para intercambiar estrategias que han resultado efectivas en la práctica pedagógica, así como sensibilizarse con la realidad de cada comunidad.

INTRODUCCIÓN

La importancia de la presente investigación está centrada en el estudio de planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de la educación básica, como contribución al desarrollo del pensamiento lógico, ya que se consideran como procesos mentales para el razonamiento, para obtener información y tomar decisiones, así mismo la comunicación entre individuos se ve favorecida por el lenguaje matemático, pues los números, la geometría, la estadística y las probabilidades, son conocimientos que permiten a individuos de otras culturas y de otros idiomas diferentes poderse comunicar, y la adquisición de conocimientos que se aprenden en la escuela o en el medio en que se desenvuelve el niño.

La matemática tiene por finalidad involucrar valores y desarrollar actitudes en el alumno y se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para comprender, asociar, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos para enfrentar su entorno. Se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para percibir, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos.

Para ello se consideró la situación problemática actual en cuanto a la planificación que realizan los docentes para impartir clase en el área de matemática, ya que las estrategias utilizadas no son las más adecuadas para transmitir los contenidos a los estudiantes.

El docente debe involucrar en su planificación valores a desarrollar en los alumnos, de forma que este pueda captarlo de manera significativa, de aquí se requiere el uso de estrategias adecuadas para su eficaz aplicación, debe existir una orientación con el objeto de facilitar y orientar el estudio donde versará su vida cotidiana, debe proveer al alumno de los métodos de razonamiento básico, requerido para plantear algunos ejercicios a resolver cuya ejecución le permitirá afianzar sus conocimientos.

El objetivo fundamental de este estudio fue determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica, teniendo como propósito la contribución a la formación integral del alumno en el desarrollo de habilidades y destrezas básicas para facilitar la interpretación del medio que lo rodea siendo condición necesaria para la convivencia social tanto para el docente como para el alumno, donde el docente desarrolla el autoestima de los educandos en la aplicación de estrategias de enseñanza de la matemática.

Los sustentos teóricos abordados en el presente estudio, fue la definición de planificación, estrategia y planificación de estrategias, con respecto a la planificación; según Ander Egg (citado por Quintero, 2002) señala la planificación como la acción donde se diseñan actividades educativas para estimular al alumno respecto al aprendizaje. Para Chacón (1979) estrategias es el conjunto de métodos y materiales organizados para el logro de objetivos, y para la autora de la investigación planificación de estrategias es un proceso por el cual el docente puede combinar las actividades con recursos para atraer la atención del alumno

en el desarrollo de la clase.

Con respecto a la metodología aplicada, el tipo de investigación fue documental basado en un estudio descriptivo y diseño bibliográfico. Se revisó material documental de manera sistemática, rigurosa y profunda para analizar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica.

El trabajo de investigación que se presenta está estructurado en cuatro (4) capítulos. El Capítulo I, El Problema, contempla la contextualización y delimitación, las interrogantes de la investigación, los objetivos de la investigación, la justificación y el sistema de variables con su respectiva definición conceptual y operacional (cuadros 1 y 2). En el Capítulo II, se presenta el Marco Teórico, conteniendo los antecedentes que están relacionados con la investigación y aspectos generales del desarrollo de cada variable. El Capítulo III, contiene el Marco Metodológico donde se destaca el tipo, el diseño de la investigación y el procedimiento. Seguidamente en el Capítulo IV se presentan las conclusiones y recomendaciones. Por último, se presenta la bibliografía consultada.

CAPITULO I

EL PROBLEMA

1.1 Contextualización y Delimitación del Problema

La autora de la investigación considera importante estudiar las estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica por la contribución al desarrollo del pensamiento lógico, ya que se consideran como procesos mentales para el razonamiento, para obtener información y tomar decisiones, así mismo la comunicación entre individuos se ve favorecida por el lenguaje matemático, pues los números, la geometría, la estadística y las probabilidades, son conocimientos que permiten a individuos de otras culturas y de otros idiomas diferentes poderse comunicar, y la adquisición de conocimientos relevantes que conectan lo que se aprende en la escuela con el medio en que se desenvuelve el niño.

La enseñanza de la matemática tiene por finalidad incorporar valores y desarrollar actitudes en el niño, de manera que obtenga un concepto claro y amplio y para ello se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para percibir, comprender, asociar, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos para enfrentar su entorno.

El docente debe proporcionar al niño una orientación general sobre

la matemática, con el objeto de facilitar y orientar el estudio donde versará su vida cotidiana, debe proveer al alumno de los métodos de razonamiento básico, requerido así mismo, para plantear algunos ejercicios a resolver cuya ejecución le permitirá afianzar sus conocimientos.

Según Molina (1999) a medida que el alumno resuelva correctamente un mayor número, de ejercicios, mejor preparado estará para proseguir sus estudios, para ello se requiere planificar actividades donde se impartan conocimientos y aplicación de estrategias adecuadas para la enseñanza de la matemática.

Desde el mismo momento del nacimiento, el niño empieza a construir su propia versión acerca de lo que es el mundo, rodeándose dentro de una estructura física y psicológica.

Cuando el niño crece e interactúa con los que se encuentran a su alrededor comienza a organizar sus procesos básicos, como clasificación, seriación, noción de número entre otros, aprendizaje que se da de manera espontánea, natural e informal, luego es planificado en función del logro de objetivos de los programas de educación cuando ingresa al nivel de preescolar y continúa con la Educación Básica.

Ander-Egg (citado por Quintero, 2002) señala que:

La planificación es la acción que tiene por finalidad diseñar las actividades educativas que estimulen el logro del aprendizaje. La planificación se cumplirá con el fin de garantizar un mínimo de éxito en la labor educativa, afianza el espíritu de responsabilidad y elimina la improvisación. (p. 8).

De acuerdo a lo anterior la planificación permite elaborar actividades exitosas (no improvisadas) en el logro del aprendizaje del alumnado.

Es importante señalar que la planificación es una actividad recurrente al igual que las estrategias, no se debe planificar de una vez y para siempre, así mismo no se deben utilizar las mismas estrategias, ya que ellas van a variar de acuerdo al contenido y grupo de alumnos que se tenga.

Con respecto a las estrategias Chacón (1979) señala que «es la combinación y organización cronológica del conjunto de métodos y materiales escogidos para lograr ciertos objetivos (p. 55).» En cuanto a las estrategias se puede decir que va a existir una interrelación entre los contenidos a procesar y la forma de hacerlos llegar, activando los conocimientos previos de los alumnos e incluso a generarlos cuando no existan.

Para precisar el significado de planificación de estrategias, la autora de la investigación tomó en cuenta lo señalado por diversos autores en lo que se refiere a planificación y estrategias, llegando a la siguiente definición. Planificación de estrategias es el proceso mediante el cual se logran combinar actividades y recursos que le permitan al docente atraer la atención del grupo, en el desarrollo de un contenido programático.

De lo anterior se aprecia que la planificación de estrategias tiene como objetivo atraer la atención, mediante actividades que el docente ponga en práctica para la motivación e interés en el aprendizaje del educando.

La planificación de estrategias ha dado lugar a la generación de

diversos enfoques metodológicos, cuyos conceptos y elementos se han aplicado en forma amplia en la producción de planes. Para su elaboración se considera un conjunto de procedimientos de trabajo en posesión de una determinada disciplina que garantice la obtención de resultados válidos (comprensivo, ordenado, autocorregible, repetible), donde se señale la forma de enfrentar la acción, el propósito y objetivos aplicables para la enseñanza de la matemática.

El docente debe poseer una clara visión de los conocimientos que imparte para que de esta forma, el uso de estrategias didácticas dentro del aula permitan al alumno abordar el aprendizaje de la misma forma, la responsabilidad fundamental corresponde al docente que tiene la misión de formarlo, es importante que este guié a sus educandos, los motive despertando su iniciativa y sus ideas y esta en el deber de prepararse cada día más.

El docente debe tener presente que la matemática en la segunda etapa permite al educando iniciarse en la comprensión del carácter formal del pensamiento y del lenguaje de la misma, así como procesos de abstracción, es allí donde el alumno comienza a exteriorizar su propio pensamiento y estar en capacidad de seguir procesos ordenados y estructurados, necesarios para planificar estrategias para la solución de problemas y el desarrollo de la intuición matemática, que permitan enfrentar problemas de la vida cotidiana.

La matemática en la segunda etapa de educación básica de acuerdo a lo observado por la autora de la investigación, y en conversaciones con los docentes para su enseñanza, estos no toman en cuenta los intereses y las necesidades de los alumnos, debido a que se imparten clases de acuerdo a un programa donde no se toma en cuenta lo que realmente el niño necesita aprender o reforzar para poder entender otros objetivos.

Las actividades diferenciadas no existen que consideren las diferencias individuales, las actividades son inducidas para todos los alumnos por igual, no se revisa las dificultades de cada uno, sólo se clasifican entre buenos, regulares y malos estudiantes. No ponen en práctica estrategias de aprendizaje donde todos los alumnos puedan participar, el profesor da su clase y en contadas ocasiones participan los alumnos, y si participan por lo general son los mismos, y los otros se quedan con lagunas mentales y así se avanza en los demás temas.

No hay variedad de materiales y recursos didácticos para los alumnos en el trabajo, en grupo. Muchas veces el profesor improvisa la clase ocasionando ruptura en la continuidad de los objetivos, por lo general sucede cuando el docente no lleva una planificación con antelación, coloca en el pizarrón una actividad por salir del paso.

Entre los objetivos de matemática correspondiente al quinto grado de educación básica está el conceptual: los triángulos, contenido procedimental: Trazado de triángulo, conocidas las medidas de un lado y de sus dos ángulos adyacentes. Utilización de la notación, Actitudinal: Valoración de las posibilidades que brinda el lenguaje matemático para interpretar, representar, conocer mejor y comunicar situaciones reales.

El docente dibuja el triángulo en el pizarrón a mano sin escuadra o regla, manda a los alumnos a transcribirlo en el cuaderno pero sin hacer seguimiento de los pasos ya que él no los aplicó, su explicación es fugaz y los alumnos tratan de hacerlo lo más parecido posible, y no poseen dominio en el uso de escuadras.

Otro contenido conceptual: Fracciones, contenido procedimental: representación gráfica de fracciones, contenido actitudinal: Valoración de las posibilidades que brinda el lenguaje matemático para interpretar, representar, conocer mejor y comunicar situaciones reales. El docente explica su clase en el pizarrón realiza algunas representaciones gráficas, pero no lo realiza por ejemplo con una torta que pueda ser más significativo para el alumno y que será una experiencia que ellos no olvidarán.

El proceso de enseñanza aprendizaje ha confrontado serios problemas debido a que su instrucción se viene realizando en forma abstracta, la metodología utilizada no es la adecuada, el aprendizaje de la misma se ha constituido en la repetición de conocimientos, aplicación de formas mecánicas que no permiten llegar al resultado correcto. Esto ha traído como consecuencia el desperdicio de la capacidad de razonamiento y la virtud creadora del educando lo cual se evidencia en su capacidad de resolver algún problema que se le presente de forma diferente o no familiar a la que no está acostumbrada.

Para mejorar la situación problemática anteriormente planteada, es necesario que los docentes planifiquen estrategias adecuadas para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica, y así elevar el rendimiento académico de los alumnos.

Los docentes deberían tomar en cuenta los intereses y necesidades de sus educandos, ya que la misión es la buena preparación académica, el docente debe tener actividades flexibles de acuerdo a la construcción del conocimiento del alumno, la participación del alumno es un agente importante ya que este motiva al alumno y a la vez le da seguridad y se siente parte importante en el proceso, debe buscar los medios donde cada alumno tenga su material para así poder detectar las fallas de cada uno, la evaluación debe ser continua para que el alumno se vea obligado a repasar y estudiar todos los días.

1.2 Interrogantes de la Investigación

De lo expuesto anteriormente, se plantean las siguientes interrogantes.

– ¿Que importancia tiene la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en el proceso educativo que se cumple en la segunda etapa de educación básica?.

– ¿Cómo influye el proceso de planificación en el mejoramiento de la calidad educativa de la segunda etapa?.

– ¿En que medida la planificación influye en el rendimiento de los alumnos de la asignatura matemática?.

1.3 Objetivos de la Investigación

1.3.1 Objetivo General

Determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica.

1.3.2 Objetivos Específicos

– Explicar la importancia de la planificación de estrategias para la

enseñanza de la matemática en el mejoramiento de la calidad educativa.

– Analizar la influencia de la planificación de estrategias en la enseñanza de la matemática.

– Determinar la incidencia de la planificación de estrategias en el rendimiento de los alumnos de la asignatura matemática.

1.4 Justificación

El presente trabajo tiene cómo propósito contribuir a la formación integral del alumno en el desarrollo de habilidades y destrezas básicas para facilitar la interpretación del medio que lo rodea, tomando en cuenta el desarrollo científico y tecnológico.

También se busca ayudar al mejoramiento de los docentes en ejercicio, al motivarlos para que tengan una conducta participativa y responsable, siendo condiciones necesarias para la convivencia social, contribuyendo a mejorar la calidad de vida tanto para el docente como para el alumno.

En el área de matemática se pretende que mediante el manejo de estrategias, los alumnos vayan desarrollando su pensamiento lógico y su capacidad de resolución de problemas.

Mucho es lo que se enseña y aprende en esta etapa, pero un elemento fundamental es que los niños lo hagan de una manera gratificante para que no pierdan la motivación y el interés por cada nuevo aprendizaje.

En el docente va a generar una actitud favorable hacia la matemática haciendo posible que el educando adquiriera conocimientos, habilidades y destrezas que van a contribuir a un desarrollo intelectual armónico, permitiéndole su incorporación a la vida cotidiana, individual y social. El docente sentirá una gran satisfacción al desarrollar el auto-estima de sus educandos así como el suyo propio, y al ver el resultado de su esfuerzo y del tiempo invertido para el logro de su objetivo.

La matemática implica la consideración de una nueva visión para sustituir y revisar la planificación de estrategias que se han venido haciendo hasta ahora, así como también las creencias que han influido sobre ellas. Se apoya en un conjunto de teorías, métodos y procedimientos para alcanzar una visión compleja y comprometida de la realidad; educar para la vida.

El presente estudio estará dado a investigaciones y teorías referidas a la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa que deben tener presente los docentes, para desarrollar los contenidos matemáticos de manera que el alumno desarrolle su capacidad lógica aplicando el reforzamiento e incrementando su creatividad, aprenda a utilizar los textos de forma correcta, exista una adecuada interrelación docente-alumno que guié la práctica pedagógica, en conjunto contribuirá a que se fomente una serie de capacidades, acciones y pensamientos que se interrelacionan en los aspectos individuales y a través de la aplicación de estrategias de enseñanza concernientes al área de matemática con el fin de alcanzar metas que están socialmente determinadas (la acción educativa en el aula).

1.5 Sistema de Variables

1.5.1 Definición Conceptual

Según el manual de la Universidad Santa María (2001) la definición conceptual «es la expresión del significado que el investigador le atribuye y con ese sentido debe entenderse durante todo el trabajo.» (p. 36). De acuerdo a lo anteriormente expuesto se puede concluir la definición conceptual como un factor donde están inmersos los objetivos específicos que puedan asumir diferentes valores de acuerdo a la interpretación del autor de la investigación.

En el cuadro 1, se señala la Identificación y Definición de Variables.

Cuadro 1

Identificación y Definición de las Variables

OBJETIVOS ESPECÍFICOS	VARIABLE	DEFINICIÓN CONCEPTUAL
Explicar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en el mejoramiento de la calidad educativa.	Importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática.	Conjunto de reglas que aseguran una decisión optima en cada momento.
Analizar la influencia de la planificación de estrategias en la enseñanza de la matemática.	Como influye la planificación de estrategias en la enseñanza de la matemática.	Serie de acciones encaminadas hacia un fin educativo.
Determinar la incidencia de la planificación de estrategias en el rendimiento de los alumnos de la asignatura matemática.	Incidencia de la planificación de estrategias en el rendimiento de los alumnos.	Son las acciones que sobrevienen de la planificación y que de alguna manera se conectan.

Fuente: Elaborado por la Autora, USM (2001).

1.5.2 Definición Operacional

Según el manual de la Universidad Santa María (2001) la Definición Operacional es «la definición de la variable representa el desglosamiento de la misma en aspectos cada vez más sencillos que permiten la máxima aproximación para poder medirla, estos aspectos se agrupan bajo las denominaciones de dimensiones, indicadores y de ser necesario sub-indicadores.» (p. 37). En función a lo expresado anteriormente se puede decir que la Definición Operacional va de lo más complejo a lo más sencillo para poder facilitar el análisis de todos sus componentes.

En el cuadro 2 se presenta la Definición Operacional.

Cuadro 2

Operacionalización de las Variables

VARIABLE	DIMENSIÓN	INDICADOR
Importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática.	Pedagógica   Psicológica	-Planificación Educativa. -Planificación en matemática. –Proyecto Pedagógico de Aula. – Constructivismo.
Como influye la planificación de estrategias en la enseñanza de la matemática.	Metodológica	– La comunicación directa. – La comunicación grupal. – La Historieta. – El periódico Mural. – El cuento. – Juegos Didácticos. – El Mapa Conceptual.
Incidencia de la planificación de estrategias en el rendimiento de los alumnos.	Educativa Jurídico	– Pensamiento Lógico. – Pensamiento Efectivo. –Constitución de la República Bolivariana de Venezuela. – Ley Orgánica de Educación y su Reglamento.

 

CAPÍTULO II

2.1 Antecedentes Relacionados con la Investigación

En relación a los trabajos revisados por la autora se pudo detectar que existen numerosos estudios relacionados con el tema los cuales se especifican a continuación.

Méndez (2002) en su trabajo La Importancia de la Planificación de Estrategias Basadas en el Aprendizaje Significativo en el Rendimiento de Matemática en séptimo grado de la Unidad Educativa Nacional Simón Bolívar, siendo su objetivo general determinar la importancia de la planificación de estrategias basadas en el aprendizaje significativo en el rendimiento de Matemática, en séptimo grado de la UEN Simón Bolívar. El autor llegó a la siguiente conclusión, la utilización de estrategias basadas en el aprendizaje significativo es de gran utilidad porque logra que el alumno construya su propio saber, tomando en cuenta las experiencias previas y sus necesidades.

Ante esta situación el autor recomienda que el Ministerio de Educación Cultura y Deporte conjuntamente con las universidades e institutos de educación superior dicten cursos de actualización en estrategias metodológicas innovadoras, dirigidas a docentes que laboran en dicha área.

El trabajo anterior se relaciona con la presente investigación en

cuanto que determinar la importancia de las estrategias en el área de matemática, en ambos trabajos se refleja lo importante que es una buena planificación para el mejoramiento de la enseñanza.

Salas (2002) realizó un trabajo titulado Importancia de la Planificación de Estrategias de Atención Pedagógica en la Formación de los Alumnos de la Primera Etapa de Educación Básica Venezolana, cuyo objetivo general fue analizar la importancia de la planificación de estrategias de atención pedagógicas en la formación de los alumnos de la primera etapa de educación básica venezolana.

El autor concluyó que la planificación es elemento fundamental para prestar atención pedagógica al alumno, también destacó que las estrategias de atención pedagógica que intervienen en la formación de los alumnos de la primera etapa de educación básica son cognoscitivas, estratégica, para aprender y recordar. Se recomendó como imprescindible que el docente deba tener conocimiento teórico-práctico preciso sobre el arsenal de técnicas para planificar estrategias.

En la investigación el autor concibe como hecho importante la planificación para la atención pedagógica en el alumno, hace referencia en cuanto a destacar las estrategias aplicadas para el aprendizaje al igual que el docente debe saber como planificar, para poder impartir una buena enseñanza, se relaciona con la presente investigación ya que sugiere el proceso concerniente a la planificación.

Curiel (2001) presentó el trabajo titulado Planificación de estrategias para el proceso de enseñanza-aprendizaje de lectura en la primera etapa de educación básica siendo su objetivo general determinar la importancia de la planificación de estrategias para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la lectura en la primera etapa de educación básica. Llegó a la conclusión de que la planificación de estrategias es un elemento esencial en el trabajo del docente y contribuye de manera determinante en el proceso de la adquisición de la lengua escrita, razón por la cual se recomienda la incorporación de estrategias, métodos y procedimientos innovadores en la planificación, como parte de la pedagogía cotidiana de los docentes.

La similitud que presenta este trabajo de investigación con el presentado por la autora es que en ambos se propone la planificación de estrategias para la enseñanza por ser un elemento tan esencial que determina el éxito o el fracaso en el aprendizaje del alumno así como la pedagogía utilizada por del docente.

Peña (2002) en su trabajo Planificación en Educación Ambiental para conducir el Logro de un Aprendizaje Significativo en la Segunda Etapa de Educación Básica, cuyo objetivo general fue analizar la importancia de la planificación en Educación Ambiental para conducir al logro del aprendizaje significativo en los alumnos de la segunda etapa de Educación Básica, llegó a la conclusión que la planificación en educación ambiental responde favorablemente a las exigencias de mejorar la calidad ambiental ya que los estudiantes alcanzan aprendizajes significativos cuando se presentan contenidos vinculados con su vida diaria y el ambiente, esto se logra con la variedad de estrategias metodológicas sugeridas. Se recomendó que los docentes deben planificar estrategias centradas en educación ambiental y realizar talleres de actualización.

La autora del trabajo considere que es importante que las estrategias se relacionen con la vida cotidiana para que el aprendizaje del alumno sea significativo para el desarrollo de su vida, al igual que el docente debe estar en constante actualización de conocimiento y abierto al cambio, aspectos que vienen hacer relevantes en la presente investigación, ya que son esenciales para la enseñanza del alumno e implican el proceso de planificación.

Briceño (2001) en su trabajo titulado Importancia de la Planificación de Estrategias Pedagógicas vivenciales en la Enseñanza de la Educación Ambiental dirigidas a los Alumnos de la Segunda Etapa de Educación Básica, tuvo como objetivo general determinar la importancia de la planificación de estrategias pedagógicas vivenciales en la enseñanza de la educación ambiental dirigidas a los alumnos de la segunda etapa de educación básica.

Concluyendo que la importancia de la planificación de estrategias debe estar centrada en los fines de la educación y los perfiles de los alumnos que se desean formar, el proceso de plan beneficia al docente para evitar caer en la improvisación, dudas, pérdida de tiempo y permite actuar con seguridad sobre las bases previstas asegurando una enseñanza efectiva, económica, permitiendo guiar a los alumnos, mejorar la calidad de la acción educativa y eficiencia de la misma. Se recomendó que los docentes deban analizar los perfiles de sus educandos para planificar en base a ellos, y así poder obtener un mejor resultado en cuanto al rendimiento escolar de cada uno de ellos.

El presente trabajo guarda relación con la presente investigación porque plantea la planificación de estrategias como un beneficio para el perfil que se desea en el alumno y a su vez se beneficia el docente ya que le da una mayor seguridad de lo que está haciendo y baja las posibilidades de equivocarse ya que ha tenido la oportunidad de corregir

alguna falla con anterioridad.

Cabrera (2001) en su investigación, Uso de los Juegos como Estrategia Pedagógica para la Enseñanza de las Operaciones Aritméticas Básicas de Matemática de 4to grado en tres escuelas del área Barcelona Naricual, teniendo como objetivo general diagnosticar la influencia de los juegos didácticos como estrategias pedagógicas para la enseñanza de la adición, sustracción, multiplicación y división a nivel de cuarto grado en las diferentes instituciones señaladas. Concluyendo que la mayoría de los docentes de las escuelas objeto de estudio no planifican algunos objetivos del área de matemática, al revisar los planes de lapso en algunos docentes que los tenían, se pudo detectar que en su planificación tienen plasmado los objetivos a dar, pero son obviados al momento de pasar la clase, esto se pudo apreciar al revisar exhaustivamente los cuadernos de matemática de los alumnos y compararlos con la planificación de cada docente.

El investigador recomendó como estrategia los juegos, que es una actividad que produce motivación en el alumno, así mismo plantea que los docentes planifiquen sus actividades y las pongan en practica y no las realicen como un requisito administrativo porque prueba de ello son los mismos cuadernos de los alumnos. Se relaciona con la investigación de la autora porque las estrategias van dirigidas a la motivación del alumno y para ello debe estar basado en una buena planificación.

Mejías (2001) en su trabajo titulado, Estudio Descriptivo de las Estrategias utilizadas por los Docentes de la Segunda Etapa de Educación Básica en el área de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología en las escuelas Antonio José de Sucre, Consuelo Navas Tovar y Tomás Alfaro Calatrava del eje Barcelona Lecherías, Estado Anzoátegui. El cual tuvo como objetivo general, hacer un estudio descriptivo de las estrategias utilizadas por los docentes de la segunda etapa de educación básica en el área de ciencias de la tecnología en las escuelas Antonio José de Sucre, Consuelo Navas Tovar y Tomás Alfaro Calatrava del eje Barcelona- Lecherías Estado Anzoátegui.

Se llegó a la conclusión que los educadores no siempre planifican las actividades de enseñanza-aprendizaje, lo cual induce a la improvisación, las actividades de enseñanza que emplean los docentes con mayor frecuencia para facilitar el proceso de aprendizaje del educando son las exposiciones centradas en el alumno, restándole importancia al juego didáctico, la experimentación, mapas conceptuales, entrevista a expertos, trabajo de campo, entre otros.

En la UE Antonio José de Sucre, existe menor proporción de docentes que planifican actividades, tampoco planifican proyectos pedagógicos de aula, sin embargo casi todos los educadores globalizan las actividades con otras áreas curriculares, pues a pesar de que improvisan al desarrollar los temas, estos son relacionados con los contenidos de otras áreas contenidas en el programa oficial vigente.

Los docentes de la UE Consuelo Navas Tovar y Antonio José de Sucre no emplean recursos variados como: audiovisuales y laboratorios para la enseñanza de las ciencias de la Naturaleza y tecnología, caso contrario sucede con los docentes de la UE Tomás Alfaro Calatrava situación que en los primeros casos afecta el interés de los niños por aprender. Se recomienda que los docentes planifiquen, tomando conciencia de los recursos que debe utilizar en las actividades a

desarrollar en el aula o fuera de esta según amerite el caso.

En opinión del autor las estrategias utilizadas por los docentes no suelen ser las más adecuadas para la enseñanza se relaciona con la presente investigación en cuanto a la reformulación de nuevas estrategias para la enseñanza efectiva en los alumnos.

González (2001) en su trabajo, Diseño de Estrategias Instruccionales dirigidas a Docentes de Segunda Etapa de Educación Básica para la Enseñanza de la Matemática (caso UE Corbeta la patria de Guatire, estado Miranda) como objetivo general se planteó que a partir de un diagnóstico sobre la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica, se elaborará una propuesta determinando su factibilidad para mejorar el proceso de enseñanza- aprendizaje.

Teniendo como conclusión que el proceso de enseñanza no admite la improvisación y se hace necesario diseñar estrategias instruccionales sobre la base de criterios bien definidos que conduzcan al logro de aprendizajes significativos, por tal motivo se deduce proponer el computador como una estrategia tecnológica para ser utilizada con la finalidad de mejorar el aprendizaje de los alumnos en el área de matemática ya que disminuye el margen de error al resolver problemas de adición y sustracción con números enteros y decimales, disminuye la apatía hacia la asignatura y se emplea menos tiempo en la resolución de las operaciones despertando la motivación, el interés, factores de extrema importancia para el aprendizaje significativo se recomienda a los docentes que no opongan al cambio, en cuanto al uso del computador para que el alumno adquiera el desarrollo de sus ideas, tenga capacidad de ampliar sus conocimientos y sientan confianza en sí mismos como seres intelectuales.

Se promueve estrategias para que los docentes puedan mejorar su práctica pedagógica en cuanto a la enseñanza de la matemática y valla al ritmo del avance tecnológico donde el autor propone como herramienta el uso del computador, se relaciona con la presente investigación en cuanto al uso de recursos en la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática.

Mendoza (2001) en su trabajo, La Disposición del Profesorado de Educación Básica hacia la Innovación Didáctica, teniendo como objetivo general diseñar un módulo instructivo para la enseñanza de la matemática en la primera etapa de educación Básica de la UE Consuelo Navas Tovar de Barcelona, estado Anzoátegui. Obteniendo como resultado que los maestros integrantes de la población poseen titularidad en el campo educativo según lo establecido por la Ley Orgánica de Educación. Los docentes no han recibido adiestramiento sobre la enseñanza de la matemática en la primera etapa de educación básica (67%) reduciendo las posibilidades de la administración efectivo del programa vigente afectando negativamente su actuación y por lo tanto la formación integral del educando.

El autor recomienda como un factor determinante la profesionalización del educador en el área y propone un modulo instructivo para la enseñanza de la matemática, se relaciona con la investigación porque antes que el docente planifique sus estrategias debe tener un claro conocimiento de cómo debe hacerlo, como ponerlo en práctica porque de eso dependerá el mejoramiento de la enseñanza de la matemática.

Cuello (2000) en su trabajo de grado titulado, Las Estrategias de Enseñanza de la Matemática utilizadas por los Docentes de la Escuela Básica Nacional, Octavio Antonio Diez (primera etapa) donde su objetivo fue determinar las estrategias metodológicas aplicadas por los docentes de la Escuela Básica Nacional Octavio Antonio Diez, en la enseñanza de la matemática, obteniendo como resultado la tendencia a darle un carácter expositivo centrada en el docente, a través de la solución de ejercicios tipos que luego son evaluados, así mismo se constato que la mayoría de los docentes carecen de entrenamiento para enseñar la matemática utilizando la técnica de resolución de problemas a la didáctica centrada en procesos, trayendo como consecuencia la poca estimulación del alumno, creando la idea de que es una asignatura muy difícil y en algunos casos los conceptos matemáticos se enseñan en forma equivocada.

Así mismo la mayoría de docentes no han realizado talleres de capacitación que le permitan alcanzar competencias adecuadas en el uso de las estrategias metodológicas en la enseñanza de la matemática. La institución carece de un aula especial donde los alumnos puedan descubrir conceptos y leyes matemáticas.

Al respecto la autora refiere que los docentes utilizan la forma tradicional para dar clases de matemática lo que causa desmotivación en los alumnos, se recomienda que los docentes realicen talleres de actualización, para el utilizar estrategias adecuadas y provocar la motivación hacia el aprendizaje de los alumnos. Se relaciona con la investigación en cuanto a la planificación de estrategias que sean adecuadas para el proceso de la enseñanza.

Martínez (1999) en su trabajo de grado, Propuesta del Perfil Ocupacional del Docente de Matemática como Gerente de Aula y su Influencia en el Rendimiento Estudiantil en la tercera etapa de Educación Básica de Calabozo, Estado Guárico, tuvo como objetivo general proponer el perfil ocupacional del docente de matemática como gerente de aula en la Tercera Etapa de Educación Básica de Calabozo, Estado Guárico. Obtuvo como conclusión que el criterio que prevalece es que solo algunos profesores relacionan el material de enseñanza con la realidad social, quizás esto es producto de la resistencia de los docentes a cambiar los contenidos tradicionales incluidos en los programas con lo cual a su vez, se les impide al alumno reflexionar sobre su propio entorno y adoptar una actitud más cónsona con la realidad del país.

El uso de variedad de recursos didácticos para el desarrollo de las clases es de notable eficacia como recurso auxiliare del aprendizaje, el (39,21%) del personal docente, opino que casi nunca los profesores utilizan suficientes recursos didácticos y también opino un porcentaje de docentes de un (72%), contándose de esta manera que los profesores no utilizan siempre suficientes recursos de aprendizaje, la mayoría de los alumnos en un (45,75%) opinaron que casi nunca los profesores despiertan la motivación de los estudiantes.

La autora del trabajo manifiesta la resistencia de los docentes a cambiar su forma de planificar sus clases manteniéndose en una actitud tradicional sin relacionarla con la vida cotidiana del alumno para así facilitar el proceso de enseñanza – aprendizaje. Sería recomendable que los docentes tomen conciencia en los avances de la educación y modifique la forma de planificar de acuerdo a los cambios educativos. Se relaciona con la presente investigación debido a la urgencia que tiene la educación que sus docentes planifiquen y lo hagan con actividades adecuadas para la enseñanza de la matemática sin oponerse a los cambios que está dando el sistema.

2.2 Importancia de la Matemática

El estudio de la matemática en la Educación Básica se integra a un mundo cambiante, complejo e incierto. Cada día aparece nueva información, nuevas teorías, nuevas formas de entender la vida y distintas maneras de interacción social. La matemática es una forma de aproximación a la realidad, brinda elementos de importancia para el proceso vital y permite a la persona entenderla y, más aún, transformarla, porque en su nivel más elemental, responde a inquietudes prácticas: la necesidad de ordenar, cuantificar y crear un lenguaje para las transacciones comerciales.

El Ministerio de Educación en su Normativo de Educación Básica (1987) destaca que la matemática a través de la historia ha sido un medio para el mejoramiento del individuo, su realidad y las relaciones con sus semejantes. En tal sentido, es una herramienta más en el proceso de construcción del ser humano, de prepararlos para la vida en sociedad y poder generar riquezas (entendida en su sentido amplio: económico, social, humano).

La educación básica plantea la formación de un individuo proactivo y capacitado parta la vida en sociedad, la aplicación de la matemática en la vida cotidiana a través de la resolución de problemas, formará en el estudiante la base necesaria para la valoración de la misma, dentro de la cultura de su comunidad, de su región y de su país.

Según el Ministerio de Educación (1987) el valor cultural de la matemática de la educación básica de la segunda etapa, debería ser reconocida fundamentalmente como un poderoso instrumento de desarrollo cultural, si se entiende por cultura conjunto de ideas, ideales, creencias, habilidades, instrumentos, obras de arte, métodos de pensamiento, costumbres e instituciones de una sociedad dada en una época dada. Cultura es tanto el conjunto de juegos tradicionales que divierten a nuestros niños, como las técnicas que hacen posible el funcionamiento de la planta de SIDOR o la industria petrolera y de los medios de transporte y comunicación. La Matemática puede y debe contribuir de manera significativa en la creación de síntesis culturales.

Se puede decir que la matemática es de gran utilidad e importancia ya que se considera como una de las ramas más importantes para el desarrollo de la vida del niño, ya que este aprende conocimientos básicos, como contar, agrupar, clasificar, al igual se relaciona con el lenguaje propio de su edad.

2.3 El Docente y la Enseñanza de la Matemática

La matemática, es una disciplina que tiene aplicaciones en muchos campos del conocimiento y en casi todos los referidos al proceso técnico: como la Informática, la Cibernética, teorías de juegos entre otros.

González (citado por Molina, 1999) indica que:

Es prioritario el interés hacia la búsqueda de alternativas las cuales deben fundamentarse en nuevas concepciones de las actividades a desarrollar en el aula, a él le corresponde mejorar su propia actuación en el campo de la enseñanza de la Matemática en beneficio propio del alumno y del país. Pero es importante aclarar que en lo referente a las actividades de mejoramiento y perfeccionamiento profesional del docente no se aplican políticas efectivas que le permitan su actualización es importante que el docente venza las concepciones tradicionales de enseñanza y derribe las barreras que le impiden la introducción de innovaciones, para ello debe encaminar la enseñanza de la Matemática de modo que el alumno tenga la posibilidad de vivenciarla reproduciendo en el aula el ambiente que tiene el matemático, fomentando el gusto por la asignatura demostrando sus aplicaciones en la ciencia y tecnología, modelizar su enseñanza para que la utilice en circunstancias de la vida real.

Desde esta perspectiva, si el educador se inclina hacia el logro de su actualización puede evitar que el estudiante aprenda en forma mecánica y memorística, desarrolle hábitos de estudio que solo tiene para cuando se aproximan las evaluaciones. El docente debe tomar conciencia de que su actualización es prioritaria, debe preocuparse por una preparación continua que diversifique su manera de enseñar los conceptos matemáticos.

Al respecto el Ministerio de Educación (1998), en su programa de estudio de Educación Básica de la segunda etapa correspondiente al Quinto Grado, hace referencia a las metas que se persiguen con la enseñanza de esta asignatura, las cuales pretenden asegurar en el individuo la toma de conocimientos, habilidades y destrezas que le permitan consolidar un desarrollo intelectual armónico, que le habilite su incorporación a la vida cotidiana, individual y social. Igualmente incentivar en el alumno una disposición favorable hacia la matemática, sirviéndole como estímulo generador de cultura lográndose establecer vínculos entre los conocimientos matemáticos y la experiencia cotidiana, motivándolo a impulsar sus vocaciones científicas y tecnológicas a fin de asegurar la formación de grupos de profesionales capacitados.

Esto representa, que la enseñanza de la misma debe servir para que los educandos logren una comprensión fundamental de las estructuras de la asignatura, esto permitirá un mejor entendimiento y aplicación a los fenómenos, y al mismo tiempo transferir el aprendizaje a nuevas situaciones.

Los aspectos precedentes se conjugan para precisar la forma como debe enseñarse la matemática. Es así, como se han hecho a nivel nacional informes que se han presentado al Ministerio de Educación con conclusiones y recomendaciones relacionadas con los elementos programáticos que planifica sin interesarle la calidad de la enseñanza.

Parra (citado por Martínez, 1999) señala que:

El objetivo de la enseñanza de la matemática es estimular al razonamiento matemático, y es allí que se debe partir para empezar a rechazar la tradicional manera de planificar las clases en función del aprendizaje mecanicista. El docente comienza sus clases señalando una definición determinada del contenido a desarrollar, basándose luego en la explicación del algoritmo que el alumno debe seguir para la resolución de un ejercicio, realizando planas de ejercicios comunes hasta que el alumno pueda llegar a asimilarlos, es por ello, que para alcanzar el reforzamiento del razonamiento y opacar la memorización o mecanización se debe combatir el esquema tradicional con que hasta ahora se rigen nuestras clases de matemática.

Por tal motivo se propone que el docente al emprender su labor en el aula comience con las opiniones de los alumnos, se efectúa un diagnóstico de las ideas previas que tiene, paralelamente construir una clase atractiva, participativa, donde se desarrollo la comunicación permitiendo que exprese las múltiples opiniones referentes al tema que se está estudiando.

Para obtener una enseñanza efectiva se debe tener en cuenta los siguientes aspectos:

– Provocar un estímulo que permita al alumno investigar la necesidad y utilidad de los contenidos matemáticos.

– Ilustrar con fenómenos relacionados con el medio que lo rodea y referidos al área.

– Estimular el uso de la creatividad.

El docente debe tratar siempre de motivar al alumno creando un ambiente de estímulo para que este se sienta con la mayor disposición para lograr un aprendizaje significativo para la vida.

 

2.4 Teorías Aplicadas al Proceso de Enseñanza – Aprendizaje de la Matemática.

Royer y Allan (1998), hacen referencia a la teoría desarrollada por Tolman y Barlett, que refiere:

Que el ser humano almacena, recupera y procesa la información a través del estimulo que le llega, es decir, el mismo es un participante muy activo del proceso de aprendizaje. En consideración a lo anterior, es importante que el docente se familiarice con las tres teorías (la operante, la asociativa y la cognoscitiva) para que pueda usarlas en la práctica educativa como instrumentos valiosos para resolver problemas de aprendizaje.

De esta forma, las mismas pueden ser aplicadas por el docente con mucho acierto en situaciones en que los escolares presenten dificultad para aprender habilidades complejas, donde el estudiante puede saber la información pero no la entiende o cuando éste no está dispuesto a realizar el esfuerzo para lograr la comprensión de la misma.

Esta teoría puede ser empleada cuando los educandos no pueden aplicar lo que han aprendido a problemas o situaciones nuevas. El catedrático debe tener en cuenta para la aplicación de ella dos principios básicos: (a) debe proporcionarle al aprendiz práctica frecuente para usar la información como para recordarla para que luego adquiera el habito de relacionar la nueva información a lo que ya conoce; y (b) debe presentarle la información de manera tal que pueda conectarse e integrarse en las estructuras de conocimientos previamente establecidos, es decir, se le pueden presentar una serie de ejemplos elaborados para demostrar un concepto o principio matemático que le permitan entender y aplicar los mismos a situaciones en donde deba hacer uso de los conceptos establecidos para la solución de cualquier tipo de problema.

Por tal razón, las teorías enunciadas son de gran importancia para el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática. Para Royer y Allan (1998), los docentes «no caen en cuenta del papel que juegan en su trabajo las diversas teorías». El desconocimiento que acarrea la falta de aplicabilidad teórica induce a cometer errores que repercuten directamente en la formación del docente.

El docente debe poner en práctica su creatividad para diversificar la enseñanza, con un poco de imaginación los trabajos de pupitre rutinarios los puede transformar en actividades desafiantes para el alumno para ello debe acudir al uso de estrategias metodológicas para facilitar el aprendizaje en el alumno.

En cuanto a la enseñanza de la matemática existe entre los y las docentes tendencias bien diferenciadas que marcan el proceso de aprendizaje y el análisis propuesto para cada teoría se hace en función de su aplicabilidad.

De acuerdo a lo señalado por González (1997):

Bruner creó una teoría que describe las actividades mentales que el individuo lleva en cada etapa de su desarrollo intelectual. Por lo tanto, el aprendizaje consiste en la reorganización de ideas previamente conocidas, en donde los alumnos mediante manipulaciones de juegos, seriaciones, ordenaciones y otros materiales instruccionales le permitan lograr un apareamiento de ideas, el mismo, se desarrolla progresivamente a través de tres etapas: enativo, icónico y simbólico. (p. 33).

Lo enativo o concreto, permite al alumno manipular materiales y jugar con ellos, tratando de unirlos o agruparlos, esta es una etapa de reconocimiento, en este nivel existe una conexión entre la respuesta y los estímulos que la provocan. Lo icónico, hace que él trate con imágenes mentales de los objetos, ayudándolo a elaborar estructuras mentales adecuándolas al medio ambiente. En lo simbólico, éste no manipula los objetos, ni elabora imágenes mentales, sino que usa símbolos o palabras para representarlas, esto le permite ir más lejos de la intuición y de la adaptación empírica haciéndolo más analítico y lógico.

Cuando el alumno ha pasado por estas tres etapas (enativo, icónico y simbólico), se puede decir, que está en condiciones de manejar varias variables al mismo tiempo y tiene más capacidad de prestar atención a una diversidad de demandas, de allí, que la teoría de Bruner, se basa en el aprendizaje por descubrimiento. Esta teoría plantea, una meta digna para la enseñanza de la Matemática, es decir, el diseño de una enseñanza que presenta las estructuras básicas de esta asignatura de forma sencilla, teniendo en cuenta las capacidades cognitivas de los alumnos.

2.5 Técnicas de Aprendizaje

La resolución de problemas permite el aprendizaje activo pero requiere de preparación para llevarla a la práctica. En este sentido, González (1997), refiere que:

La solución de problemas tiene efectos sobre lo cognitivo, lo afectivo y lo práctico. En lo cognitivo porque activa la capacidad mental del alumno ejercita su creatividad, reflexiona sobre su propio proceso de pensamiento, transfiere lo aprendido a otras áreas. En cuanto a lo afectivo, el estudiante adquiere confianza en sí mismo, reconoce el carácter lúdico de su actividad mental propia y en la práctica desarrolla destrezas en las aplicaciones de la matemática a otros campos científicos; está en mejores condiciones para afrontar retos tecno- científicos.

Esto representa, que la solución de problemas es una técnica efectiva que le permite al alumno descubrir la relación entre lo que sabe y lo que se pide, porque tiene que dar una solución correcta al problema que se le plantea.

Las técnicas de aprendizaje deben ser aplicadas por el profesor en el proceso de enseñanza para desarrollar las actividades en el aula de clase. Para Good y Brophy (1996).

Los estudiantes deben recibir de parte del docente oportunidades de respuesta activa que van más allá de los formatos simples de pregunta y respuesta que se observan en la exposición tradicional y en las actividades de trabajo de pupitre a fin de incluir proyectos, experimentos, representación de papeles, simulaciones, juegos educativos o formas creativas de aplicar lo que han estado aprendiendo.

Por lo anterior, esta técnica está en función del entrenamiento, la repetición, la discusión, el trabajo en el pizarrón y las actividades de trabajo de pupitre. Las mismas exigen que los estudiantes apliquen las habilidades o procesos que están aprendiendo al contenido académico con frecuencia le proporcionan la oportunidad para que respondan de manera más activa y obtengan mayor retroalimentación e integración de su aprendizaje. Por lo tanto, ésta le permite al aprendiz disfrutar en particular de las tareas que realiza y ser más participativo.

Según, Malone y Lepper (citados en Good y Brophy, 1996)

La retroalimentación debe ser incluida en actividades más comunes de clase, (cuando se dirige a la clase o a un grupo pequeño mediante una actividad o se circula en el aula para supervisar el progreso durante el trabajo de pupitre). Esta técnica puede usarla a través de claves de respuesta, siguiendo instrucciones respecto a cómo revisar su trabajo, consultando a un alumno ayudante designado para tal fin o revisando el trabajo en parejas o en grupos pequeños. Esto representa, que la retroalimentación hace las actividades de clase más activa y efectivas.

El reforzamiento tiene sus aplicaciones en el ámbito escolar, los estudiantes que no completan un trabajo o tarea pueden ser motivados a hacerlo informándoles que no se les permitirá hacer una actividad determinada hasta que hayan concluido lo asignado. El docente puede desarrollar sistemas de recompensas adaptadas a cada alumno y evitar el problema de que ninguna recompensa única será motivante para todos.

2.6 Recursos para el Aprendizaje.

Los recursos del aprendizaje se convierten en una estrategia que puede utilizar el docente para la motivación del aprendizaje.

El pizarrón es un recurso de los más generalizados y del que no siempre se obtiene el provecho debido, porque muchas veces se copia rápido y el alumno no puede lograr ir al mismo ritmo, lo que implica que en ocasiones no copia correctamente y si copia no presta la atención debida al contenido que se está desarrollando.

El texto es un recurso que debe ser utilizado como estrategia para motivar el aprendizaje en el alumno.

Good y Brophy, (1996), refieren que:

El uso de los textos genera intereses en los estudiantes porque los motiva a leer y comprender. Desde este punto de vista, el empleo del texto conduce al aprendizaje, el alumno aprende como resultado de la manera en que plantean los desafíos de ese texto para sí mismo.

El educador debe adaptar a la instrucción el texto, puede asignarles trabajos a través de preguntas o actividades donde se les permitan expresar opiniones o dar respuestas personales al contenido. Tomando en cuenta estos señalamientos, el profesor debe propiciar el uso de textos de Matemática porque estos ayudan a incrementar la comprensión lectora del alumno, lo adiestra en la lectura del lenguaje personal y simbólico de esta asignatura y le permitirá entender con mayor facilidad el contenido matemático presentado en el texto.

Para Medina (1997) El juego:

Le permite al alumno resolver conflictos, asumir liderazgo, fortalecer el carácter, tomar decisiones y le proporciona retos que tiene que enfrentar; la esencia del juego lúdico es que le crea al alumno las condiciones favorables para el aprendizaje mediadas por experiencia gratificantes y placenteras, a través, de propuestas metodológicas y didácticas en las que aprende a pensar, aprende a hacer, se aprende a ser y se aprende a convivir.

Por este motivo, el mismo encierra una actividad cognitiva gratificante y placentera. Al respecto, el precitado autor, refiere que la actividad lúdica es una propuesta de trabajo pedagógico que coloca al centro de sus acciones la formación del pensamiento, donde se desarrolla la imaginación, lo lúdico tiene que ver con la comunicación, la sociabilidad, la afectividad, la identidad, la autonomía y creatividad que da origen al pensamiento matemático, comunicacional, ético, concreto y complejo.

2.7 Estrategias Motivacionales para la Enseñanza de la Matemática.

El educador debe acudir a estrategias motivacionales que le permitan al estudiante incrementar sus potencialidades ayudándolo a incentivar su deseo de aprender, enfrentándolo a situaciones en las que tenga que utilizar su capacidad de discernir para llegar a la solución de problemas.

Al respecto la autora de la presente investigación define las estrategias motivacionales como: las técnicas y recursos que debe utilizar el docente para hacer más efectivo el aprendizaje de la matemática manteniendo las expectativas del alumno.

Desde este punto de vista es importante que el docente haga una revisión de las prácticas pedagógicas que emplea en el aula de clase y reflexione sobre la manera cómo hasta ahora ha impartido los conocimientos, para que de esta manera pueda conducir su enseñanza con técnicas y recursos adecuados que le permitan al educando construir de manera significativa el conocimiento y alcanzar el aprendizaje de una forma efectiva.

En este sentido Chiavenato (citado por Molina, 1999), define la motivación como:

Aquello que impulsa a una persona a actuar de determinada manera o, por lo menos, que origina una propensión hacia un comportamiento específico. Ese impulso a actuar puede ser provocado por un estimulo externo (que proviene del ambiente) o puede ser generado internamente en los procesos mentales del individuo.

Tomando en cuenta lo anterior, la motivación como estrategia didáctica ayuda al estudiante a valorar el aprendizaje. El docente tiene a su disposición a través de la motivación un sinnúmero de estrategias que le pueden ayudar a lograr un aprendizaje efectivo en el alumno. Para Good y Brophy (1998), los docentes en el proceso de enseñanza deben lograr seis objetivos motivacionales:

1. Crear un ambiente de aprendizaje favorable en el aula, modelando la motivación para aprender, esto ayuda a minimizar la ansiedad haciendo que los alumnos logren un mejor desempeño en sus actividades.

2. Los docentes necesitan estimular la motivación para lograr aprender en conexión con contenidos o actividades específicas proyectando entusiasmo, induciendo curiosidad, disonancia, formulando objetivos de aprendizaje y proporcionando retroalimentación informativa que ayude al alumno a aprender con conciencia, sensatez y eficacia.

3. El docente debe ser modelador de los aprendizajes, para esto debe proporcionar a los educandos, las herramientas que le hagan valorar su propio aprendizaje, viéndolo el mismo como un desarrollo recompensante y de autorrealización que les enriquecerá su vida, trayendo consigo satisfacciones personales. El educador debe discutir con los alumnos la importancia e interés de los objetivos impartidos, relacionándolos con el quehacer diario, incentivándolos hacia la búsqueda de nuevas informaciones en libros, artículos, videos, programas de televisión en donde se traten temas actuales que se relacionen con la asignatura.

4. Explicar y sugerir al estudiante que se espera que cada uno de ellos disfrute el aprendizaje.

5. Ejecutar las evaluaciones, no como una forma de control, sino como medio de comprobar el progreso de cada alumno.

6. Ayudar al estudiante adquirir una mayor conciencia de sus procesos y diferencias referente al aprendizaje, mediante actividades de reflexión, estimulando la conciencia metacognitiva de los alumnos.

En virtud de lo señalado, el docente puede alcanzar una enseñanza eficaz. El docente debe poner en práctica su creatividad para diversificar la enseñanza, con un poco de imaginación, los trabajos de pupitre rutinarios los puede transformar en actividades desafiantes para el alumno para ello debe acudir al uso de estrategias metodológicas para facilitar el aprendizaje en el alumno.

 

2.8 Planificación Educativa.

Tradicionalmente la planificación del proceso de enseñanza y aprendizaje se ha realizado con base en la presunción de que el conocimiento es objetivo y universal de que lo objetivo puede diferenciarse de lo subjetivo y por supuesto que lo objetivo siempre es mejor.

La Universidad Pedagógica Experimental Libertador (1998) al respecto dice que las características más relevantes de los modelos de diseño de la instrucción basados en la concepción racional objetiva se resumen a continuación:

1. El proceso de planificación es secuencial y lineal.

2. La planificación es jerarquizada y sistémica.

3. Los objetivos conductuales son esenciales.

4. Los expertos en contenido tienen una gran relevancia e importancia en el establecimiento de los objetivos de instrucción.

5. El análisis de tareas y la enseñanza de subcompetencias son importantes.

6. Los objetivos preestablecen los conocimientos que adquieran los estudiantes.

7. La evaluación sumativa es un elemento crítico, permite evaluar la eficacia de la instrucción.

8. Mientras más datos objetivos, mejor; la detección de conductas de entrada y de subcompetencias es un proceso esencial para el análisis del perfil de la población estudiantil.

Por otro lado se plantea que el aprendizaje puede ser significativo sólo si se origina a partir de dos elementos: (a) el contexto y las expectativas del estudiante, y (b) a través de actividades y escenarios reales, es decir lo más cercano posible a la manera de cómo se producen los hechos, procesos y fenómenos en la realidad.

Anteriormente la UPEL enumeró una serie de pasos para la planificación y así obtener características esenciales en los alumnos para el proceso de una buena planificación con respecto a la enseñanza.

Al respecto, Vendar y otros (1991) afirman que desde el punto de vista constructivista el aprendizaje es un proceso constructivo en el cual el aprendiz construye su representación interna del conocimiento, una interpretación personal de las experiencias. De modo que el aprendizaje puede ser situado en un contexto rico, reflexivo o en un contexto del mundo real para que los procesos constructivos ocurran y se transfieran a ambientes más allá de la escuela o el salón de entrenamiento.

Por tal razón, es posible considerar múltiples perspectivas o interpretaciones de la realidad en contextos de aprendizaje variados, en tal sentido las características predominantes de la planificación de la instrucción bajo este enfoque son: (a) El proceso de planificación es iterativo no lineal y en ocasiones caótico; (b) La planificación es global, reflexiva y cooperativa; (c) Los propósitos emergen desde la etapa de diseño y a través del desarrollo de trabajo escolar; (d) No contempla la participación de expertos en diseño de la instrucción; (e) El énfasis instruccional se coloca en el aprendizaje de significados; (f) La evaluación formativa es crítica; (g) Los datos subjetivos pueden ser los más relevantes y valiosos.

Según la UPEL (1998) para planificar un Proyecto Pedagógico de Aula (PPA) es fundamental en todo caso, que el proceso de planificación sea producto del trabajo en equipo y de la participación y cooperación de todos los actores que intervienen en el ámbito escolar.

Las fases que se proponen para la planificación del PPA son; (a) Diagnóstico Sociocultural; (b) Proposición de temas o ejes de interés; (c) Clasificación de temas o ejes de interés; (d) Selección del tema del PPA; (e) Selección del nombre del PPA; (f) Establecimiento de propósitos y tiempo de ejecución; (g) Análisis de preconcepciones; (h) Selección de contenidos; (i) Elaboración de red de contenidos; (j) Selección de competencias; (k) Diseño de la estrategia de instrucción y evaluación globalizadas; (l) Diseño de actividad de cierre; (ll) Diseño de la evaluación.

Para dar inicio a un proyecto de aula el docente como primer punto debe preguntar a los alumnos que les gustaría estudiar, algunos dirán los animales, los alimentos, el cuerpo humano entre otros, partiendo de este punto el docente debe englobar los contenidos para sacar con ayuda de los alumnos un título por ejemplo: Descubre el maravilloso mundo de los animales, en este tema puede estudiarse los distintos animales que hay, clasificarlos, ver como son sus esqueletos, que tipo de alimentos consumen, en fin, plantear lo que el docente se quiere que los alumnos aprendan y finalmente terminar con la evaluación.

2.9 Planificación en Matemática.

De acuerdo a lo establecido por el Ministerio de Educación (1987) la planificación en matemática debe estar fundamentada en función de:

Garantizar al individuo la adquisición de conocimientos, habilidades y destrezas que contribuyan a un desarrollo intelectual armónico, que le permita su incorporación a la vida cotidiana, individual y social.

Desarrollar en el individuo una actitud favorable hacia la matemática, que le permite apreciarla como un elemento generador de cultura.

Favorecer el desarrollo del lenguaje en el niño, en particular del lenguaje matemático, como medio de expresión.

Contribuir a capacitar al educando en la resolución de problemas.

Ayudar a la comprensión del papel de la ciencia y la tecnología en el mundo contemporáneo.

Para la planificación en matemática se debe tener en cuenta las bases que fijan los aprendizajes. Diariamente el niño se enfrenta con situaciones que despiertan su interés, el docente puede matematizar las mismas, ya que el niño al enfrentarse a una situación problemática según la UPEL (1998) seguirá el siguiente proceso: (a) Percibe información, la interpreta y la comprende; (b) Esta información, lo afecta y lo impulsa a la acción, a la reflexión, a la toma de decisiones; (c) Traduce a un lenguaje matemático para encontrar soluciones; (d) Justifica sus conclusiones a través del material, la explicación o ambos; (e) Somete estas conclusiones al análisis del grupo.

El logro de los objetivos se medirá a través de la observación diaria del progreso de los estudiantes y de actividades diseñadas especialmente para tal fin, esto a su vez le permitirá al docente hacer los reajustes pertinentes al logro de los aprendizajes. En la segunda etapa de educación básica, los educandos deben consolidar los conocimientos adquiridos en la primera etapa e integrar otros, que les permitan avanzar en el dominio de la matemática y construir nuevos conceptos científicos.

En esta etapa los educandos se encuentran en el proceso de transición hacia definir relaciones más abstractas. Necesitan desarrollar su habilidad de generalizar y proyectar su pensar desde lo real hacia lo posible, a partir de informaciones que les sean familiares.

Uno de los aspectos más importantes en el manejo de los programas es la forma de procesar los objetivos, se sugiere un orden de desarrollo, éste debe estar siempre subordinado al ritmo de adquisición de la clase, el análisis de los éxitos, de los errores y de las dificultades de los alumnos, debe guiar al docente en el procesamiento de los objetivos del programa. A través de las estrategias, se proponen diversas metodologías que conduzcan a los niños a redescubrir, construir conceptos y buscar diversas vías para solucionar problemas, los alumnos deben integrar los conocimientos que van adquiriendo, en un sistema de relaciones matemáticas que favorezcan su retención y su generalización a nuevas situaciones.

2.10 Proyecto Pedagógico de Aula.

El programa de estudio de educación básica de Quinto Grado, del Ministerio de Educación (1998) define el Proyecto Pedagógico de Aula (PPA) como:

Un instrumento de planificación didáctica sustentado en la transversalidad que implica la investigación, propicia la globalización del aprendizaje y la integración de los contenidos en torno al estudio de situaciones, intereses o problemas de los niños relacionados con su contexto socio natural.

En opinión de la autora el PPA es un instrumento que sirve de estrategia por medio de la investigación al docente para planificar sus actividades, con libertad de creatividad y consideración del medio en el que se va a desarrollar, este proyecto permite adaptarlo a la realidad y provocar en los alumnos el desarrollo de su pensamiento lógico-matemático.

La UPEL (1999) plantea que los PPA en manos de los docentes explicitan las estrategias más adecuadas de intervención pedagógica, determinan los alcances de los ejes transversales, las competencias, los contenidos, las actividades y medios a ser utilizados. Además, permiten una evaluación comparativa de lo planificado, en relación con el proceso de desarrollo del proyecto y los aprendizajes construidos por los alumnos.

Los PPA tienen las siguientes etapas según la UPEL (1999).

1. Diagnóstico: consiste en una exploración del contexto o de la situación real de la escuela y de su entorno. Permite el conocimiento de la escuela y su entorno y de los aspectos vinculados con la comunidad educativa.

2. Formulación del problema: consiste en establecer las metas y objetivos que permitirán satisfacer las necesidades detectadas con relación a los alumnos, docentes y la comunidad educativa.

3. Ejecución del proyecto: es el desarrollo real de las actividades propuestas en el PPA, se operacionaliza tanto en el aula como fuera de ella. A través de estrategias, experiencias y actividades se integra el Currículo Básico Nacional, el currículo estatal y las expectativas locales con el propósito de integrar los conocimientos de una manera significativa.

4. Evaluación: Esta etapa es un proceso continuo que se realiza en todas las etapas del Proyecto Pedagógico Plantel (PPP), permite tomar decisiones acerca del mejoramiento de los procesos involucrados en cada una de las etapas del proyecto y establecer el grado de satisfacción de las necesidades detectadas.

Los docentes en cuanto a la planificación de los PPA son los más capacitados para ajustar las estrategias adecuadas para la práctica pedagógica según lo especificado en los programas de estudios de la segunda etapa (4to, 5to, 6to grados) del Ministerio de Educación. Permitiendo una evaluación basada con anterioridad a un diagnóstico preestablecido.

 

 

2.11 Estudio para la Enseñanza de la Matemática.

La actividad en el niño debe contribuir a cambiar su mundo exterior, y esto a su vez es condición necesaria para su propia autotransformación, debemos tener en cuenta que toda actividad tiene la intención de transformar y ejercer su influencia en el interior del individuo, a continuación se presenta algunas técnicas propuestas para los docentes en la enseñanza de la matemática.

La comunicación Directa para Lester (1990) la comunicación directa «es un método que consiste en incorporar en el alumno nuevas informaciones y aplicar las conocidas por los alumnos para su comprensión, mediante la exposición o el uso del material individual.» (p. 35). La comunicación directa se puede decir que es el trato que el docente tiene con su alumno para transmitir conocimientos de una forma directa e individual.

En la comunicación directa se puede poner en práctica la explicación dialógica: consiste en el desarrollo sistemático y organizado de una serie de preguntas y respuestas que tanto el profesor como los alumnos, deben ir formulando en torno a un asunto o tema de estudio. Esta actividad debe ser motivadora del dialogo y la construcción colectiva de los conocimientos mediante la participación activa de los alumnos, durante los cinco momentos de la secuencia de la actividad. Debe estar orientada al mejoramiento de los niveles de socialización y comunicación horizontal y democrática, así como hacia la práctica de la actitud crítica, razón por la cual debe desarrollarse en forma dinámica y utilizando un lenguaje claro y sencillo.

Comunicación grupal: la comunicación grupal para Lester (1990) «Consiste en organizar a los alumnos en pequeños grupos para permitir una mejor comunicación, participación e intercambio de ideas y opiniones ante un tema planteado.» (p. 36) La comunicación grupal se va a dar siempre entre dos o más alumnos donde va a fluir el proceso de la comunicación entre todos los participantes.

Entre las técnicas se recomienda el torbellino de ideas, la discusión en pequeños grupos, la dramatización y el debate dirigido. La técnica del torbellino de ideas consiste en el intercambio de opiniones sobre un tema por un grupo de alumnos, donde no se critiquen las opiniones expresadas. Esta técnica se recomienda para aportar soluciones a un problema, estimular la creatividad e imaginación.

La dramatización es una técnica donde dos o más alumnos escenifican una situación de la vida real, que puede surgir después de una clase expositiva, narraciones de cuentos, observaciones y excursiones. Dicha escenificación tiene como finalidad que el grupo comprenda, analice y discuta mejor una actividad, un tema o una situación concreta.

Una vez finalizada la dramatización, se procede a la discusión y análisis de la representación, primero por parte de los actores y luego por el resto del grupo.

La Historieta: para Coll (1997) «Son historias donde predomina la acción, contadas en una secuencia de imágenes y con un repertorio específico de signos.» (p. 20). En la historieta siempre va a prevalecer un conjunto de series o secuencias gráficas con finalidad narrativa. Es una forma narrativa, cuya estructura no consta sólo de un sistema, sino de dos: lenguaje e imagen. La función de la imagen es, más que ilustriva, por cuanto la acción es sustentada por palabra e imagen; de allí que en ambos sistemas se necesiten mutuamente.

El tipo de lenguaje predominante en las historietas de estilo directo. Este posee una inmediatez desconocida en los textos, no necesita ser precedido por frases introductoras tales como: Dijo. Preguntó. La identificación del que habla y la caracterización de lo que él dice, en estilo directo, se logra a través de un medio gráfico: el globo que aparece sobre la cabeza de quien utiliza la palabra.

Para dar a conocer la opinión o la intención de los personajes, se presentan el monólogo interior, el mismo se encuentra inscrito dentro de un globo que tiene pequeños círculos en la parte inferior.

El Periódico Mural: para Coll (1997) «Es una técnica que consiste en la presentación de un pliego mural con figuras alusivas a un tema determinado en clase.» (p. 23). Con respecto a la definición anterior el periódico mural viene a se un medio impreso realizado con pintura u otra técnica sobre un muro o pared con expresiones referidas a los temas de clase.

Esta técnica sirve para ampliar los conocimientos, además de permitir por medio de la imagen, resaltar contenido de tipo matemático. También se puede definir como un medio de comunicación social visual, de bajo costo, de carácter popular y participativo, que está formado por textos, dibujos, gráficos, avisos y fotografías. La exhibición de este medio de comunicación alternativo se realiza en sitios públicos, donde la gente pueda leerlos y analizarlos.

El periódico mural es una estrategia instruccional de enseñanza aprendizaje, su función es comunicar ideas que pueden ser gráficas como: recortes de revistas o periódicos y fotografías, escritas en letra clara tipo imprenta, que sea impactante, precisa y objetiva.

La técnica del periódico mural es recomendada en el proceso enseñanza aprendizaje en la matemática ya que sirve para resaltar las ideas provenientes del educando a manera de solucionar problemas matemáticos, resolución de operaciones, entre otros.

El cuento: Bonilla (1984) manifiesta que «el cuento es una narración escrita de forma real o imaginaria, donde su función es exponer el curso de la historia, dar un comentario final y explicar las secuencias para la comprensión de la trama.» (p. 40). Se puede ubicar el cuento como una creación eminentemente narrativa donde hay un relator que cuenta lo que hacen los personajes, lo que piensan, lo que sienten, es testigo de una trama representada por los protagonistas.

El cuento constituye uno de los medios que se pueden utilizar para desarrollar la vida afectiva del niño, su utilización es de gran valor. Es un recurso que se puede utilizar de motivación al iniciar un tema o al ilustrar un aspecto en particular, es un medio de enseñanza que cautiva al alumno y lo lleva a un aprendizaje significativo.

En la primera infancia, el cuento está constituido por las canciones de cuna, los juegos de palabras, los cuentos de movimiento, los ritmos y las rondas. En la segunda infancia, el Interés se centra en los objetos, la imitación de animales: es la etapa de la fantasía, el material literario debe tener mucho ritmo. En la tercera infancia, la imaginación creadora es rica, interesándose en los cuentos de superhombres, se introducen las leyendas, las novelas de héroes y las historietas.

Cada etapa de desarrollo tiene su propia literatura y en cada una de ellas es posible hacer uso de ese recurso para educar al niño en el conocimiento del entorno y de las matemáticas.

En la primera fase el niño puede contar personas, animales, objetos, sumarlos, restarlos, multiplicarlos y hasta dividirlos, en la segunda fase puede personificar a las personas, animales, objetos de modo que se identifique con ella, en la tercera fase el niño puede comprender historietas, leyendas y realizar dramatizaciones donde los personajes pueden ser representaciones de números, signos entre otros. El cuento a través de la historia del hombre ha sido una valiosa herramienta educativa, tanto en la escuela como fuera de ella.

Juegos Didácticos: para CENAMEC (1998) «Los juegos son recursos valiosos para atender las diferencias individuales» (p. 14), los juegos también suelen ser un medio de estimulo y a su vez de diversión mientras se esta aprendiendo, es como un ejercicio recreativo sometido a ciertas reglas donde ganar es aprender y perder es volver a intentarlo.

Por ejemplo, en una mayor o menor capacidad para comprender la Matemática y rapidez o lentitud en su aprendizaje; por tanto, es importante contar con juegos como el Bingo de Adición para los alumnos que presentan dificultad en lograr el dominio de las combinaciones de adición. Cuando el primer grado se invita a jugar a los alumnos, con objetos que tienen forma de esfera, de cilindro, de cubo, o a esconderse dentro, delante o detrás de una caja de cartón, se dan las primeras nociones de relaciones espaciales. Cuando se propone el juego de construir una caja con una hoja de papel, se inicia el concepto de cuerpos geométricos, que es reforzado luego, cuando le proponemos trazar y construir cuerpos geométricos.

Al usar el juego como una estrategia de la enseñanza de la Matemática, logramos, por una parte, incorporar a los niños menos preparados e introvertidos; a la participación activa, a la vez que le es estimulada su superación, valiéndose del elemento competitivo; por la otra, si ofrecemos el mayor campo para el intercambio de opiniones y de aclaración de conceptos; y se robustecen las relaciones de solidaridad y amistad dentro del ambiente de agrado que produce el juego.

El juego como estrategia en la enseñanza de la matemática y en otras disciplinas, deja de ser espontáneo y se convierte en un juego educativo, el cual se realiza dentro de ciertos límites dados por sus objetivos establecidos precisamente, dentro de un tiempo y un espacio, con unas reglas que deben cumplirse para que sea eficaz, el juego regulado, coincide con las primeras adquisiciones escolares.

No basta con emplear el juego como estrategia en la enseñanza de la Matemática; es importante que el docente participe en el juego de los niños, que los sepa observar cuando juegan, que tenga habilidad para hacerlos jugar y que le guste jugar.

El Mapa Conceptual: CENAMEC (1998) define el mapa conceptual como «una representación o diagrama de conceptos relacionados y jerarquizados, se elabora a partir de la selección de los conceptos relevantes o clave en un determinado tópico y estableciendo las relaciones entre ellos.» (p. 29) Estos mapas conceptuales vienen a facilitar el aprendizaje y la misma enseñanza en los alumnos, donde se plantean temas relacionados.

Pueden ser utilizados en el aula para: repasar un tema en estudio, para compartir los significados de los conceptos entre diferentes personas y/o equipos; evaluar los contenidos de un tema; se pueden referir a: trabajos de campo, lecturas y en general a cualquier actividad.

Cada miembro de un equipo puede elaborar su mapa conceptual, discutirlo con el resto de los miembros y acoger uno por consenso o presentar cada mapa por separado. Es necesario destacar, que un mapa puede diferir de otro, ya que éstos corresponden a estructuras de conocimientos representativos de la interpretación de los contenidos a partir de las estructuras cognitivas previas. Por esta razón, es importante la elaboración de los mapas correspondientes a los conocimientos previos (preconceptual) después de recibir nuevas informaciones.

2.12 Eje Transversal del Desarrollo del Pensamiento.

Para el Ministerio de educación programa de quinto grado plantea que el objetivo fundamental de los sistemas educativos en todos los países del mundo es preparar a los hombres y mujeres del futuro para desenvolverse inteligentemente en la sociedad en la cual les tocará vivir. Una sociedad que estará caracterizada por cambios acelerados en lo económico, en lo tecnológico y en lo social, cuyo alcance resulta difícil vislumbrar en el presente.

Ciertamente, la escuela de hoy no puede aportar soluciones a situaciones que todavía son inciertas, pero si está en la obligación de proporcionar herramientas que permitirán al individuo superar dificultades y resolver problemas.

Este eje transversal planteado por el Ministerio de Educación (1998) en el programa de quinto grado propone

Considerar, en todas las actividades que se realizan en la escuela, el desarrollo de habilidades cognitivas y actitudes que propicien el uso adecuado de la información para tomar decisiones e interactuar efectivamente en el medio sociocultural. Se intenta así, erradicar la presencia de informaciones inconexas y enseñar a pensar con rigor lógico, creatividad y claros referentes. El propósito es sistematizar el desarrollo de procesos que conceptualmente están presentes en las áreas académicas del currículo venezolano pero que en la práctica no se enfatizan, y en consecuencia, se diluyen en el quehacer educativo. (p. 18).

El docente tiene la responsabilidad de propiciar el desarrollo de las capacidades de pensamiento en los estudiantes, suministrando experiencias cotidianas que conduzcan a valorar la acción inteligente, creativa y racional, donde el estudiante aprecie la relación y utilidad de lo que aprende, reflexione y tenga la oportunidad de desarrollar su imaginación y su capacidad para resolver problemas. Es importante que los niños sepan las respuestas a diversos planteamientos y reproduzcan conocimientos, pero interesa aún más la actitud que asume cuando no se conocen las respuestas y cuando la producción de conocimientos deriva de una cierta autonomía intelectual.

La confianza en la capacidad del estudiante para desarrollar y mejorar los procesos de pensamiento es vital, se requiere que el docente escuche, aclare, propicie y valore las ideas de los estudiantes y las utilice para producir otras.

En la concepción del eje transversal Desarrollo del Pensamiento se toman en cuenta algunos planteamientos formulados por especialistas en proyectos y programas que se adaptan al nivel de educación básica. Se consideran, en su descripción dos dimensiones que orientarán al docente en su práctica pedagógica:

1. El Pensamiento Lógico está constituido por procesos mentales que permiten organizar, procesar, transformar y crear información. Teniendo como alcance los siguientes aspectos: (a) identifique características, propiedades y relaciones entre hechos, ideas, procesos y situaciones, usando todos los sentidos; (b) Encuentre aspectos comunes y no comunes entre ideas, objetos, procesos y acciones; (c) Agrupe según semejanzas y separe atendiendo a diferencias en función de criterios; (d) Regrese al punto de partida en sus razonamientos; (e) Busque e identifique patrones en series; (f) Exponga razones y conclusiones usando inducción, deducción e inferencia; (g) Identifique elementos (propiedades, principios, pasos) en ideas, objetos y situaciones; (h) Forme un todo coherente al combinar diversos elementos de ideas y situaciones; (i) Utilice y comprenda relaciones temporales y espaciales en diversas situaciones comunicativa.

Presentando como indicadores: Observación, descripción, comparación, clasificación, reversibilidad, seriación, razonamiento, análisis, síntesis, nociones temporales, nociones espaciales, conservación de la cantidad.

2. El Pensamiento Efectivo: esta constituido por acciones que requieren la combinación de procesos mentales con factores afectivos y sociales orientados a la toma de decisiones y a la solución de problemas, a fin de que el niño se desenvuelva positiva y exitosamente en su ambiente.

Tiene como alcance lo siguiente: (a) Plantee estrategias diferentes antes de abordar la solución de problemas; (b) Analice situaciones para establecer pasos que pueda que pueda seguir; (c) Comprenda las situaciones de un trabajo antes de comenzarlo; (d) Considere las consecuencias de sus acciones; (e) Planifique estrategias de solución a problemas teniendo en cuenta la claridad de las metas; (f) Considere los puntos de vista de otros; (g) Plantee varias formas de resolver un problema; (h) Analice diferentes alternativas en una misma situación; (i) Establezca prioridades básicas; (j) Solicite datos para apoyar conclusiones o suposiciones de otros.

Teniendo como indicadores:

Actuar bajo incertidumbre, control de la impulsividad, flexibilidad en el pensamiento (pensamiento divergente), jerarquización, criticidad (pensamiento crítico).

Con los procesos mentales el individuo maneja la información para organizar los conocimientos. Al interrelacionarse activamente los procesos y la información, se producen acciones cuyo nivel de efectividad dependerá de las estrategias que cada cual utilice para combinar y aplicar los procesos cognitivos. Es importante destacar que ambos tipos de pensamiento no pueden considerarse como una clasificación exclusiva, antes bien, al estimular en el aula las conductas consideradas en la categoría pensamiento efectivo es posible que los alumnos muestren crecimiento en el desarrollo de habilidades del pensamiento lógico. (Programa de quinto grado, Ministerio de Educación Cultura y Deporte).

2.13 Bases Legales

En la Constitución de la República Bolivariana de Venezuela (1999), los derechos educativos se encuentran en los artículos 102, 103, 104:

Artículo 102:

La educación es un derecho humano y un deber social fundamental, es democrática, gratuita y obligatoria. El Estado la asumirá como función indeclinable y de máximo interés en todos sus niveles y modalidades, y como instrumento del conocimiento científico, humanístico y tecnológico al servicio de la sociedad.

La educación es un servicio público y está fundamentada en el respeto a todas las corrientes del pensamiento, con la finalidad de desarrollar el potencial creativo de cada ser humano y el pleno ejercicio de su personalidad en una sociedad democrática basada en la valoración ética del trabajo y en la participación activa, consciente y solidaria en los procesos de transformación social consustanciados con los valores de la identidad nacional, y con una visión latinoamericana y universal. El Estado, con la participación de las familias y la sociedad, promoverá el proceso de educación ciudadana de acuerdo con los principios contenidos de Constitución y en la ley.

El artículo anterior expresa claramente que toda persona tiene derecho a educarse, a recibir una educación digna, gratuita y obligatoria, donde el estado debe asumir su función educativa y velar por su cumplimiento, teniendo como finalidad el potencial intelectual, la personalidad, según se establece en la constitución.

Artículo 103:

Toda persona tiene derecho a una educación integral, de calidad, permanente, en igualdad de condiciones y oportunidades, sin más limitaciones que las derivadas de sus aptitudes, vocación y aspiraciones. La educación es obligatoria en topos sus niveles, desde el maternal hasta el nivel medio diversificado. La impartida en las instituciones del Estado es gratuita hasta el pregrado universitario.

A tal fin, el Estado realizará una inversión prioritaria, de conformidad con las recomendaciones de la Organización de las Naciones Unidas. El Estado creará y sostendrá instituciones y servicios suficientemente dotados para asegurar el acceso, permanencia y culminación en el sistema educativo.

La ley garantizará igual atención a las personas con necesidades especiales o con discapacidad y a quienes se encuentren privados de su libertad o carezcan de condiciones básicas para su incorporación y permanencia en el sistema educativo.

Las contribuciones de los particulares a proyectos y programas educativos públicos a nivel medio y universitario serán reconocidas como desgravámenes al impuesto sobre la renta según la ley respectiva.

El estado está encargado de velar por la educación gratuita en todos sus niveles desde el maternal hasta pregrado, por intermedio de instituciones dará acceso a aquellas personas que por impedimento físico no puedan recibir educación con plena libertad, al igual que los aportes económicos serán reconocidos.

Artículo 104:

La educación estará a cargo de personas de reconocida moralidad y de comprobada idoneidad académica. El Estado estimulará su actuación permanente y les garantizará la estabilidad en el ejercicio de la carrera docente, bien sea pública o privada, atendiendo a esta Constitución y a la ley, en un régimen de trabajo y nivel de vida acorde con su elevada misión. El ingreso, promoción y permanencia en el sistema educativo, serán establecidos por ley y responderá a criterios de evaluación de méritos, sin injerencia partidista o de otra naturaleza no académica.

La educación estará a cargo de personas de buenas costumbres morales a quienes se les garantizará la estabilidad laboral y económica de acuerdo a su misión, el ingreso será de acuerdo a lo establecido por la ley.

En la Reforma Parcial de la Ley Orgánica de Educación y su Reglamento (1999) establece en sus artículos 8, 48, 54 lo siguiente:

Artículo 8

2. Apreciar y registrar en forma cualitativa, de primero a sexto grado, o cualitativo en la tercera etapa de educación básica y en media diversificada y profesional, el progreso en el aprendizaje y dominio de competencias del alumno, en función de los contenidos y objetivos programáticos para efectos de orientación y promoción conforme a lo dispuesto en el presente régimen y en las resoluciones correspondientes a cada nivel y modalidad del sistema educativo.

3. Determinar en qué forma influye en el rendimiento estudiantil los diferentes factores que intervienen en el proceso educativo, para reforzar los que inciden favorablemente y adoptar los correctivos necesarios y, cuando el nivel de rendimiento (30%) o más de los alumnos, proceder a una investigación pedagógica con el objeto de buscar soluciones a través de una comisión ad-hoc designada por las autoridades competentes.

La evaluación en todo el proceso será de forma cualitativa donde el docente escribirá las observaciones según observadas en la debida planificación, el proceso se hará con seguimiento para corregir posibles deficiencias y adoptar la forma más conveniente.

Artículo 48

La planificación y organización del régimen de los distintos niveles y modalidades del sistema educativo será realizado y elaborado por el Ministerio de Educación, salvo las excepciones contempladas en la ley especial de educación superior.

A los fines previstos en el presente artículo se promoverá y estimulará la participación de las comunidades educativas y de otros sectores vinculados al desarrollo nacional y regional.

La planificación del sector educativo estará a cargo del Ministerio de Educación, partiendo de ahí los docentes planifican sus actividades de acuerdo al grupo escolar que tenga a su cargo.

Artículo 54

Las actividades de enseñanza del año escolar estarán comprendidas entre el primer día hábil de la segunda quincena del mes de septiembre y el último día hábil de la primera semana del mes de julio del año siguiente. Las actividades docentes estarán comprendidas entre el primer día hábil de la segunda quincena del mes de septiembre y el último día del mes de julio del año siguiente, salvo en los regímenes educativos diferenciados, debidamente autorizados por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. A tal efecto, el Despacho educativo publicará anualmente el calendario escolar.

El Ministerio de Educación es el encargado de planificar el calendario escolar, indicando los días hábiles, festivos y vacacionales, el año escolar debe tener 180 días hábiles.

CAPÍTULO III

MARCO METODOLÓGICO

3.1 Tipo y Diseño de la Investigación.

El presente trabajo corresponde a una investigación documental basado en un estudio descriptivo y diseño bibliográfico, el conocimiento que se obtuvo durante el desarrollo del estudio, estuvo centrado en determinar la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica, fue a nivel teórico y la información se encuentra en materiales impresos, tales como textos, documentos, leyes, revistas, decretos, medios electrónicos.

En cuanto a la investigación documental la Universidad Santa María (USM, 2000) expresa «la investigación documental se ocupa del estudio de problemas planteados a nivel teórico, la información requerida para abordarlos se encuentra básicamente en materiales impresos, audiovisuales y /o electrónicos.» (p. 41). A tal fin la investigación documental estudia de manera teórica los problemas, basándose en estudios realizados con anterioridad y que permanecen escritos en diferentes tipos de textos.

Por otra parte la USM (2000) señala que el nivel descriptivo consiste en «caracterizar un fenómeno o situación concreta indicando sus rasgos más peculiares o diferenciadores» (p. 42). Es decir es aquella que en forma minuciosa nos va a mostrar las características o diferencias que existen en aquello que es nuestro objeto en estudio.

Para efectos del presente trabajo el proceso de enseñanza aprendizaje ha confrontado serios problemas debido a que su instrucción se viene realizando en forma abstracta, la metodología no es la adecuada, el aprendizaje se ha constituido en la repetición de conocimientos, aplicación de formas mecánicas que no permiten llegar al resultado correcto, así mismo la forma inadecuada de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa, por lo que se hace necesario enriquecer esta investigación con una buena revisión bibliográfica.

Al respecto la USM (2000) expresa Diseño Bibliográfico, básico de las investigaciones documentales, ya que a través de la revisión del material documental de manera sistemática, rigurosa y profunda se llega al análisis de diferentes fenómenos o a la determinación de la relación entre variables.» (p. 44). Con respecto al diseño bibliográfico consiste en fuentes escritas tales como: libros, documentos, prensa, revistas, Internet, entre otras como de audio, audiovisuales, y representaciones teatrales.

Tomando como punto de partida el problema del presente trabajo sería importante explicar el porqué se sugiere una buena planificación con estrategias adecuadas y bajo qué condiciones debe darse la misma.

En este tipo de investigación el diseño utilizado fue bibliográfico porque las fuentes documentales que se utilizaron fueron libros, documentos escritos, investigaciones monográficas, entre otras.

3.2 Procedimiento

Con la finalidad de realizar la presente investigación los procedimientos a utilizar para el logro de los objetivos se cumplieron por etapas de la siguiente manera.

Para la escogencia del título del presente trabajo, se revisó diferentes temas para seleccionar el título definitivo de la investigación. Se recaudo información teórica respecto a los antecedentes sobre la importancia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica.

Se procedió a buscar información en los centros de investigación de las diferentes bibliotecas y en librerías con material educativo.

Se revisó la información detallada referente al título de la investigación. Se organizó las referencias bibliográficas con los datos más relevantes y de mayor utilidad para el contexto de la investigación. Esta revisión de fuentes se realizó mediante el método, las técnicas de fichas bibliográficas, fichas mixtas, subrayado y resumen, siendo las fichas un instrumento esencial en la recolección de información.

Hernández y otros (2000) señalan la revisión de la literatura consiste en detectar, obtener y consultar la bibliografía y otros materiales que pueden ser útiles para los propósitos del estudio» (p. 23). Para obtener información sobre un tema se revisan textos donde es importante destacar el nombre del libro, del autor para posteriormente tener disponible la información necesaria.

La USM (2002) define «método es el camino a seguir mediante una serie de operaciones fijadas de manera voluntaria, reflexiva y planificada, para alcanzar un determinado fin, que puede ser material o conceptual» (p. 46). De lo expuesto anteriormente se puede decir que el método es un conjunto de reglas y ejercicios prácticos de forma sistemático y ordenado para producir efecto sobre el objeto de estudio.

Según el manual de la USM (2002) expresa que las técnicas «se refieren a los medios que hacen manejables a los métodos; indican como hacer para alcanzar un resultado propuesto, se sitúan a nivel de los hechos o de las etapas operativas y permiten la aplicación del método por medio de elementos prácticos, concretos y adaptados a un objeto bien definido.» (p. 46). Con respecto a lo expresado anteriormente las técnicas vienen hacer un procedimiento basado en instrucciones bien definidas para asegurar su confiabilidad en futuros resultados.

Para Sabino (1992) «las fichas bibliográficas son una simple guía para recordar cuáles libros o trabajos han sido consultados o existen sobre un tema» (p. 167). Las fichas bibliográficas nos ayudan a ubicar con mayor facilidad una información en cualquier lapso de tiempo.

Según Sabino (1992) expresa que «las fichas mixtas se elaboran integrando a la vez información textual y de libre creación del investigador» (p. 168). Las fichas mixtas comprenden un párrafo o varios de forma textual tal como lo indico su autor, donde acepta agregar un comentario por parte del investigador.

Para Morles (1980) el subrayado es «la técnica de trabajo para centrar la atención en ideas importantes.» (p. 15). La técnica del subrayado es aquella que utiliza el investigador para resaltar todo lo que este considere de mayor relevancia para su investigación.

Morles (1980) define el resumen «como técnica de trabajo para centrar la atención en ideas importantes.» (p. 15). Se puede decir que el resumen afianza las ideas convenientes para lo que se quiere dar a conocer en una investigación.

Después de aplicar las técnicas por etapas se proceso la información, se enumeró los procedimientos de como se realizó la investigación, se seleccionó el tema que fue objeto de estudio, se busco antecedentes relacionados con el tema, se realizó el I capítulo, el capítulo II, capítulo III, capítulo IV, la introducción, la bibliografía, el índice, y la dedicatoria.

 

 

CAPÍTULO IV

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

4.1 Conclusiones.

Analizada la influencia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática planteada inicialmente, se evidencio la necesidad de planificar estrategias adecuadas para una enseñanza de calidad, porque ha quedado separada de la realidad del sistema educativo, adaptándose en una problemática de gran magnitud, por cuanto las herramientas o medios para motivar al educando en su desarrollo del pensamiento lógico (procesos mentales para el razonamiento) no conlleva a obtener una información clara y precisa en la forma de decisiones así mismo incorporar valores y desarrollar actitudes en el alumno.

En este sentido, a partir de la situación planteada y en función de esta investigación se concluyó dándole respuestas específicas a los objetivos, a fin de demostrar las respuestas a las interrogantes de investigación, en este orden el primero de los objetivos específicos implica explicar la importancia de la planificación para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica permite concluir que en la planificación va inmersa las estrategias, las cuales deben ser adecuadas para que el alumno pueda construir su propio aprendizaje tomando en cuenta sus experiencias y necesidades previas.

Para que el docente pueda planificar con resultados exitosos es imprescindible que este tenga conocimiento teórico práctico preciso sobre el arsenal de técnicas para planificar estrategias.

En el objetivo número dos se analizó la influencia de la planificación de estrategias en la enseñanza de la matemática. Se concluye que la planificación influye de manera positiva ya que ayuda a mejorar la calidad de enseñanza y aprendizaje en el área de matemática al desarrollar estrategias y programas de acción para dar solución efectiva a las dificultades que se presentan a la hora de adquirir un conocimiento sólido.

Con relación al objetivo específico número tres basado en determinar la incidencia de la planificación de estrategias en el rendimiento de los alumnos de la asignatura matemática. Se ha concluido en el desarrollo de esta investigación que los docentes a pesar de utilizar estrategias ajustadas, la mayoría de las veces en los proyectos dados, continúan predominando técnicas tradicionales como copia y dictado, el uso de un libro determinado para el desarrollo de contenidos y en algunas oportunidades las actividades planificadas son obviadas al momento de dar la clase.

Finalmente, es importante resaltar la importancia de la planificación adecuada para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de educación básica, para que así los alumnos puedan tener una mayor visión y desenvolvimiento en la materia práctica resultando así significativo y provechoso para su vida, al mismo tiempo es importante la preparación del docente en el arte de planificar estrategias adecuadas para ello debe contar con el asesoramiento de institutos, universidades, que den su aporte a las escuelas por medio de talleres evaluados para el educador, y a su vez que este; esté consciente de su necesidad en realizarlos.

4.2 Recomendaciones.

Analizadas las conclusiones; la autora de la presente investigación realiza las siguientes recomendaciones:

Los docentes deben tomar conciencia en cuanto a la capacitación que se debe tener para realizar una buena planificación (no basta sólo con los conocimientos adquiridos en una universidad o en un instituto.) y buscar la manera de solventar las dificultades, afianzando la práctica pedagógica hacia el constructivismo, más que hacia el conductivismo.

Los docentes deben actualizarse en conocimientos teóricos- prácticos en cuanto a las distintas formas de planificar de acuerdo a las técnicas, métodos y estrategias que sirvan de guía para atraer la atención de los alumnos y llegue de forma positiva la enseñanza de la matemática.

Los docentes deben reunirse periódicamente para intercambiar estrategias que han resultado efectivas en la práctica pedagógica, así como sensibilizarse con la realidad de cada comunidad.

Se recomienda que los docentes ejecuten la planificación que más se ajuste a la necesidad del grupo y que evite la improvisación por medio de técnicas tradicionales.

Que los docentes participen con regularidad a talleres dictados por personal altamente calificado y exijan ser evaluados para así poder mejorar las deficiencias educativas.

Recópilado por: Ervin Ariel Jarquín Urbina (docente de Educación media)